i. \( f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x+\frac{5}{2} \)

La función que has proporcionado es una función cuadrática de la forma \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a = -\frac{1}{2} \), \( b = \frac{3}{2} \) y \( c = \frac{5}{2} \). Para analizar esta función, podemos determinar algunas características importantes: 1. **Vértice**: El vértice de una parábola dada por \( f(x) = ax^2 + bx + c \) se puede encontrar usando la fórmula \( x_v = -\frac{b}{2a} \). En este caso: \[ x_v = -\frac{\frac{3}{2}}{2 \cdot -\frac{1}{2}} = -\frac{\frac{3}{2}}{-1} = \frac{3}{2} \] Para encontrar la coordenada \( y \) del vértice, sustituimos \( x_v \) en la función: \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} \left(\frac{3}{2}\right) + \frac{5}{2} \] \[ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{5}{2} = -\frac{9}{8} + \frac{9}{4} + \frac{10}{4} \] \[ = -\frac{9}{8} + \frac{19}{4} = -\frac{9}{8} + \frac{38}{8} = \frac{29}{8} \] Por lo tanto, el vértice es \( \left(\frac{3}{2}, \frac{29}{8}\right) \). 2. **Intersecciones con el eje \( y \)**: Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + \frac{3}{2}(0) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \] Así que la intersección con el eje \( y \) es \( (0, \frac{5}{2}) \). 3. **Intersecciones con el eje \( x \)**: Para encontrar las intersecciones con el eje \( x \), resolvemos \( f(x) = 0 \): \[ -\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{5}{2} = 0 \] Multiplicamos toda la ecuación por \(-2\) para simplificar: \[ x^{2} - 3x - 5 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} \] Por lo tanto, las intersecciones con el eje \( x \) son \( \left(\frac{3 + \sqrt{29}}{2}, 0\right) \) y \( \left(\frac{3 - \sqrt{29}}{2}, 0\right) \). 4. **Concavidad**: Dado que \( a = -\frac{1}{2} < 0 \), la parábola se abre hacia abajo. En resumen, la función \( f(x) = -\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{5}{2} \) tiene un vértice en \( \left(\frac{3}{2}, \frac{29}{8}\right) \), una intersección con el eje \( y \) en \( (0, \frac{5}{2}) \) y dos intersecciones con el eje \( x \) en \( \left(\frac{3 + \sqrt{29}}{2}, 0\right) \) y \( \left(\frac{3 - \sqrt{29}}{2}, 0\right) \). La parábola es cóncava hacia abajo.