Supplementary Problems 1.2 Determine the vertex, focus, directrix, and axis of symmetry of the parabola wit he given equation. Sketch the graph, and include these points and lines. \( y^{2}=-36 x \) \( 5 x^{2}=100 y \) b. \( y^{2}+4 x-14 y=-53 \) 4. \( y^{2}-2 x+2 y-1=0 \) 5. \( 2 x^{2}-12 x+28 y=38 \)

为了确定给定抛物线的顶点、焦点、准线和对称轴，我们需要将抛物线方程转换为标准形式。以下是具体步骤： ### 问题 1: \( y^{2} = -36x \) 1. **标准形式**： 抛物线的标准形式为 \( y^2 = -4ax \)。 将 \( y^2 = -36x \) 与标准形式比较，得到 \( -4a = -36 \)，因此 \( a = 9 \)。 2. **顶点**： 顶点公式为 \( (h, k) \)，其中 \( h = 0 \) 和 \( k = 0 \)。 因此，顶点为 \( (0, 0) \)。 3. **焦点**： 焦点公式为 \( (h - a, k) \)。 因此，焦点为 \( (0 - 9, 0) = (-9, 0) \)。 4. **准线**： 准线公式为 \( x = h + a \)。 因此，准线为 \( x = 0 + 9 = 9 \)。 5. **对称轴**： 对称轴是垂直于 x 轴的直线，公式为 \( x = h \)。 因此，对称轴为 \( x = 0 \)。 6. **图形**： 画出抛物线，并标出顶点、焦点、准线和对称轴。 ### 问题 2: \( 5x^{2} = 100y \) 1. **标准形式**： 抛物线的标准形式为 \( x^2 = 4ay \)。 将 \( 5x^2 = 100y \) 与标准形式比较，得到 \( 4a = 100 \)，因此 \( a = 25 \)。 2. **顶点**： 顶点公式为 \( (h, k) \)，其中 \( h = 0 \) 和 \( k = 0 \)。 因此，顶点为 \( (0, 0) \)。 3. **焦点**： 焦点公式为 \( (h, k + a) \)。 因此，焦点为 \( (0, 0 + 25) = (0, 25) \)。 4. **准线**： 准线公式为 \( y = k - a \)。 因此，准线为 \( y = 0 - 25 = -25 \)。 5. **对称轴**： 对称轴是水平于 x 轴的直线，公式为 \( y = k \)。 因此，对称轴为 \( y = 0 \)。 6. **图形**： 画出抛物线，并标出顶点、焦点、准线和对称轴。 ### 问题 3: \( y^{2} + 4x - 14y = -53 \) 1. **标准形式**： 将方程转换为标准形式 \( y^2 + 4x - 14y + 53 = 0 \)。 完全平方后得到 \( (y - 7)^2 - 49 + 4x - 14y + 53 = 0 \)。 简化后得到 \( (y - 7)^2 = 4x - 4 \)。 2. **顶点**： 顶点公式为 \( (h, k) \)，其中 \( h = 0 \) 和 \( k = 7 \)。 因此，顶点为 \( (0, 7) \)。 3. **焦点**： 焦点公式为 \( (h + a, k) \)，其中 \( a = 1 \)。 因此，焦点为 \( (0 + 1, 7) = (1, 7) \)。 4. **准线**： 准线公式为 \( x = h - a \)。 因此，准线为 \( x = 0 - 1 = -1 \)。 5. **对称轴**： 对称轴是垂直于 x 轴的直线，公式为 \( x = h \)。 因此，对称轴为 \( x = 0 \)。 6. **图形**： 画出抛物线，并标出顶点、焦点、准线和对称轴。 通过以上步骤，我们可以确定每个抛物线的顶点、焦点、准线和对称轴，并画出相应的图形。