2. Calcule o valor de S : \[ S=\left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll}0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6\end{array}\right|+\left[\left.\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & -2 \\ 1 & 6 & 4\end{array} \right\rvert\,\right. \]

Para calcular o valor de \( S \), precisamos calcular cada determinante individual e, em seguida, somar os resultados. Vamos calcular cada determinante um por um. ### Determinante da primeira matriz: \[ \left|\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right| \] Para calcular este determinante, usamos a fórmula da determinante de uma matriz 3x3: \[ \text{det}(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \] Substituindo os valores: \[ \text{det}\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right) = 2(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (-1)(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) + 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \] \[ = 2(1 - 1) - (-1)(1 + 2) + 1(1 - 1) \] \[ = 2(0) - (-1)(3) + 1(0) \] \[ = 0 + 3 + 0 \] \[ = 3 \] ### Determinante da segunda matriz: \[ \left|\begin{array}{lll}0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6\end{array}\right| \] Para calcular este determinante, podemos usar a linha 1 para simplificar, pois todos os elementos da linha 1 são 0, exceto o primeiro elemento da primeira coluna. Isso nos permite usar a propriedade de que se uma linha (ou coluna) de uma matriz tiver todos os elementos iguais a zero, o determinante dessa matriz é zero. Portanto: \[ \text{det}\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 3 & 6\end{array}\right) = 0 \] ### Determinante da terceira matriz: \[ \left|\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & -2 \\ 1 & 6 & 4\end{array}\right| \] Para calcular este determinante, usamos a fórmula da determinante de uma matriz 3x3: \[ \text{det}(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \] Substituindo os valores: \[ \text{det}\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & -2 \\ 1 & 6 & 4\end{array}\right) = (-1)(0 \cdot 4 - (-2) \cdot 6) - 2(5 \cdot 4 - (-2) \cdot 1) + 3(5 \cdot 6 - 0 \cdot 1) \] \[ = (-1)(0 + 12) - 2(20 + 2) + 3(30 - 0) \] \[ = (-1)(12) - 2(22) + 3(30) \] \[ = -12 - 44 + 90 \] \[ = 34 \] ### Soma dos determinantes: \[ S = 3 + 0 + 34 \] \[ S = 37 \] Portanto, o valor de \( S \) é 37.