Tollar el area da las Srgurantes funtuonas. \( v f(x)=x^{3}-x^{2}-10 x, g(x)=-x^{2}+2 x \)

Para encontrar el área entre las curvas \( f(x) = x^3 - x^2 - 10x \) y \( g(x) = -x^2 + 2x \), primero necesitamos determinar los puntos de intersección de las dos funciones. Esto se hace igualando \( f(x) \) y \( g(x) \): \[ x^3 - x^2 - 10x = -x^2 + 2x \] Simplificamos la ecuación: \[ x^3 - x^2 - 10x + x^2 - 2x = 0 \] \[ x^3 - 12x = 0 \] Factorizamos: \[ x(x^2 - 12) = 0 \] Esto nos da las soluciones: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x^2 - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \] Los puntos de intersección son \( x = 0 \), \( x = 2\sqrt{3} \) y \( x = -2\sqrt{3} \). Ahora, para encontrar el área entre las curvas, necesitamos calcular la integral de la diferencia de las funciones en el intervalo de intersección. Observamos que \( g(x) \) está por encima de \( f(x) \) en el intervalo \( [-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}] \). El área \( A \) se calcula como: \[ A = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} (g(x) - f(x)) \, dx \] Sustituyendo las funciones: \[ A = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \left( (-x^2 + 2x) - (x^3 - x^2 - 10x) \right) \, dx \] Simplificamos la expresión dentro de la integral: \[ A = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \left( -x^2 + 2x - x^3 + x^2 + 10x \right) \, dx \] \[ A = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \left( -x^3 + 12x \right) \, dx \] Ahora, calculamos la integral: \[ A = \int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} (-x^3 + 12x) \, dx \] Calculamos la integral: \[ \int (-x^3 + 12x) \, dx = -\frac{x^4}{4} + 6x^2 + C \] Evaluamos en los límites: \[ A = \left[ -\frac{(2\sqrt{3})^4}{4} + 6(2\sqrt{3})^2 \right] - \left[ -\frac{(-2\sqrt{3})^4}{4} + 6(-2\sqrt{3})^2 \right] \] Calculamos \( (2\sqrt{3})^4 = 16 \cdot 9 = 144 \) y \( (2\sqrt{3})^2 = 12 \): \[ A = \left[ -\frac{144}{4} + 6 \cdot 12 \right] - \left[ -\frac{144}{4} + 6 \cdot 12 \right] \] \[ A = \left[ -36 + 72 \right] - \left[ -36 + 72 \right] \] Ambos términos son iguales, así que el área es: \[ A = 36 + 36 = 72 \] Por lo tanto, el área entre las curvas es: \[ \boxed{72} \]