Cada ejercicio debe tener su representacion o su dibujo o grafico 1.Resolver un triángulo tal que \( a=6.5 \mathrm{~cm} \)., \( \mathrm{B}=35^{\circ} \) y \( \mathrm{C}=78^{\circ} \).

Para resolver el triángulo dado, utilizaremos la información proporcionada: \( a = 6.5 \, \text{cm} \), \( B = 35^\circ \) y \( C = 78^\circ \). Primero, necesitamos encontrar el ángulo \( A \) utilizando la suma de los ángulos de un triángulo, que es \( 180^\circ \). ### Paso 1: Calcular el ángulo \( A \) \[ A = 180^\circ - B - C \] \[ A = 180^\circ - 35^\circ - 78^\circ = 67^\circ \] ### Paso 2: Usar la Ley de Senos para encontrar los lados \( b \) y \( c \) La Ley de Senos establece que: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Primero, calculamos \( b \): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] \[ b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} \] \[ b = \frac{6.5 \cdot \sin(35^\circ)}{\sin(67^\circ)} \] Calculamos \( \sin(35^\circ) \) y \( \sin(67^\circ) \): \[ \sin(35^\circ) \approx 0.5736 \] \[ \sin(67^\circ) \approx 0.9200 \] Sustituyendo los valores: \[ b = \frac{6.5 \cdot 0.5736}{0.9200} \approx \frac{3.7264}{0.9200} \approx 4.05 \, \text{cm} \] Ahora calculamos \( c \): \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \] \[ c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} \] \[ c = \frac{6.5 \cdot \sin(78^\circ)}{\sin(67^\circ)} \] Calculamos \( \sin(78^\circ) \): \[ \sin(78^\circ) \approx 0.9781 \] Sustituyendo los valores: \[ c = \frac{6.5 \cdot 0.9781}{0.9200} \approx \frac{6.35965}{0.9200} \approx 6.91 \, \text{cm} \] ### Resumen de los resultados - \( A \approx 67^\circ \) - \( B = 35^\circ \) - \( C = 78^\circ \) - \( a = 6.5 \, \text{cm} \) - \( b \approx 4.05 \, \text{cm} \) - \( c \approx 6.91 \, \text{cm} \) ### Representación gráfica A continuación, se presenta un dibujo del triángulo: ``` C /| / | c / | b / | / | A------B a ``` Donde: - \( A \) es el ángulo de \( 67^\circ \) - \( B \) es el ángulo de \( 35^\circ \) - \( C \) es el ángulo de \( 78^\circ \) - \( a = 6.5 \, \text{cm} \) - \( b \approx 4.05 \, \text{cm} \) - \( c \approx 6.91 \, \text{cm} \) Este es el triángulo resuelto con sus lados y ángulos.