1. Se sabe que la vida útil de un componente eléctrico se ajusta a una distribución normal con media \( \mu=2000 \) horas y desviación estándar \( O=200 \) horas. Calcular la probabilidad de que un componente tomado al azar dure entre 2000 y 2400 horas y la probabilidad de que dure más de 2200 horas.

Para resolver este problema, utilizaremos la distribución normal. Dado que la vida útil del componente eléctrico se ajusta a una distribución normal con media \( \mu = 2000 \) horas y desviación estándar \( \sigma = 200 \) horas, podemos estandarizar las variables utilizando la fórmula del puntaje Z: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] ### 1. Calcular la probabilidad de que un componente dure entre 2000 y 2400 horas. Primero, calculamos el puntaje Z para 2000 horas y 2400 horas. - Para \( X = 2000 \): \[ Z_{2000} = \frac{2000 - 2000}{200} = 0 \] - Para \( X = 2400 \): \[ Z_{2400} = \frac{2400 - 2000}{200} = 2 \] Ahora, buscamos las probabilidades correspondientes en la tabla de la distribución normal estándar (o utilizando una calculadora de probabilidades). - La probabilidad de que \( Z \leq 0 \) es \( P(Z \leq 0) = 0.5 \). - La probabilidad de que \( Z \leq 2 \) es aproximadamente \( P(Z \leq 2) \approx 0.9772 \). Por lo tanto, la probabilidad de que un componente dure entre 2000 y 2400 horas es: \[ P(2000 < X < 2400) = P(Z \leq 2) - P(Z \leq 0) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772 \] ### 2. Calcular la probabilidad de que un componente dure más de 2200 horas. Ahora, calculamos el puntaje Z para 2200 horas. - Para \( X = 2200 \): \[ Z_{2200} = \frac{2200 - 2000}{200} = 1 \] Buscamos la probabilidad correspondiente: - La probabilidad de que \( Z \leq 1 \) es aproximadamente \( P(Z \leq 1) \approx 0.8413 \). Por lo tanto, la probabilidad de que un componente dure más de 2200 horas es: \[ P(X > 2200) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 \] ### Resumen de resultados: 1. La probabilidad de que un componente dure entre 2000 y 2400 horas es aproximadamente \( 0.4772 \) o \( 47.72\% \). 2. La probabilidad de que un componente dure más de 2200 horas es aproximadamente \( 0.1587 \) o \( 15.87\% \).