9. Hallar la ecuación explicita de la recta que pasa por los puntos dados: \( \begin{array}{lll}\text { a) }(2,5) \text { y }(4,3) & \text { b) }(-1,3) \text { y }(-2,-3) & \text { c) }(1 / 2,0) \text { y }(-1 / 2,-2)\end{array} \)

Para hallar la ecuación explícita de la recta que pasa por dos puntos dados, utilizamos la fórmula de la pendiente \( m \) y la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta. La fórmula de la pendiente entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \) es: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Luego, la ecuación de la recta en forma punto-pendiente es: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Finalmente, podemos despejar \( y \) para obtener la forma explícita \( y = mx + b \). ### a) Puntos \( (2,5) \) y \( (4,3) \) 1. Calcular la pendiente \( m \): \[ m = \frac{3 - 5}{4 - 2} = \frac{-2}{2} = -1 \] 2. Usar la forma punto-pendiente con el punto \( (2,5) \): \[ y - 5 = -1(x - 2) \] 3. Despejar \( y \): \[ y - 5 = -x + 2 \\ y = -x + 7 \] La ecuación explícita de la recta es: \[ y = -x + 7 \] ### b) Puntos \( (-1,3) \) y \( (-2,-3) \) 1. Calcular la pendiente \( m \): \[ m = \frac{-3 - 3}{-2 + 1} = \frac{-6}{-1} = 6 \] 2. Usar la forma punto-pendiente con el punto \( (-1,3) \): \[ y - 3 = 6(x + 1) \] 3. Despejar \( y \): \[ y - 3 = 6x + 6 \\ y = 6x + 9 \] La ecuación explícita de la recta es: \[ y = 6x + 9 \] ### c) Puntos \( \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \) y \( \left( -\frac{1}{2}, -2 \right) \) 1. Calcular la pendiente \( m \): \[ m = \frac{-2 - 0}{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{-2}{-1} = 2 \] 2. Usar la forma punto-pendiente con el punto \( \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \): \[ y - 0 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right) \] 3. Despejar \( y \): \[ y = 2x - 1 \] La ecuación explícita de la recta es: \[ y = 2x - 1 \] ### Resumen de las ecuaciones: - a) \( y = -x + 7 \) - b) \( y = 6x + 9 \) - c) \( y = 2x - 1 \)