18. Dos números son entre sí como 5 es a 9 . Halla su razón aritmética si la razón aritmética de sus cua- drados es 1400 \( \begin{array}{lll}\text { a) } 15 & \text { c) } 25 & \text { e) } 16 \\ \text { b) } 20 & \text { d) } 36 & \end{array} \)

Para resolver el problema, primero definimos los dos números que llamaremos \( x \) y \( y \). Según el enunciado, la relación entre ellos es: \[ \frac{x}{y} = \frac{5}{9} \] Esto implica que podemos expresar \( x \) en términos de \( y \): \[ x = \frac{5}{9}y \] Además, se nos dice que la razón aritmética de sus cuadrados es 1400. La razón aritmética de \( x^2 \) y \( y^2 \) se define como: \[ \frac{x^2 + y^2}{2} = 1400 \] Multiplicamos ambos lados por 2 para despejar la suma de los cuadrados: \[ x^2 + y^2 = 2800 \] Ahora sustituimos \( x \) en la ecuación: \[ \left(\frac{5}{9}y\right)^2 + y^2 = 2800 \] Calculamos \( \left(\frac{5}{9}y\right)^2 \): \[ \frac{25}{81}y^2 + y^2 = 2800 \] Para sumar los términos, convertimos \( y^2 \) a una fracción con el mismo denominador: \[ \frac{25}{81}y^2 + \frac{81}{81}y^2 = 2800 \] Esto se convierte en: \[ \frac{25 + 81}{81}y^2 = 2800 \] \[ \frac{106}{81}y^2 = 2800 \] Multiplicamos ambos lados por \( \frac{81}{106} \): \[ y^2 = 2800 \cdot \frac{81}{106} \] Calculamos \( 2800 \cdot \frac{81}{106} \): \[ y^2 = \frac{226800}{106} \approx 2136.79 \] Ahora, calculamos \( y \): \[ y = \sqrt{2136.79} \approx 46.2 \] Ahora, calculamos \( x \): \[ x = \frac{5}{9}y \approx \frac{5}{9} \cdot 46.2 \approx 25.67 \] Finalmente, la razón aritmética de \( x \) y \( y \) es: \[ \frac{x + y}{2} \approx \frac{25.67 + 46.2}{2} \approx 35.94 \] Sin embargo, para encontrar la razón aritmética de los números \( x \) y \( y \) que cumplen con la relación inicial, podemos usar la relación de \( x \) y \( y \) directamente: \[ \text{Razón aritmética} = \frac{x + y}{2} = \frac{\frac{5}{9}y + y}{2} = \frac{\frac{5y + 9y}{9}}{2} = \frac{\frac{14y}{9}}{2} = \frac{14y}{18} = \frac{7y}{9} \] Para encontrar \( y \) que cumpla con la condición de que \( x^2 + y^2 = 2800 \), podemos probar con los valores dados en las opciones. Probamos con \( y = 36 \): \[ x = \frac{5}{9} \cdot 36 = 20 \] Calculamos \( x^2 + y^2 \): \[ 20^2 + 36^2 = 400 + 1296 = 1696 \quad (\text{no es correcto}) \] Probamos con \( y = 25 \): \[ x = \frac{5}{9} \cdot 25 = \frac{125}{9} \approx 13.89 \] Calculamos \( x^2 + y^2 \): \[ (13.89)^2 + (25)^2 \approx 193.21 + 625 = 818.21 \quad (\text{no es correcto}) \] Probamos con \( y = 20 \): \[ x = \frac{5}{9} \cdot 20 = \frac{100}{9} \approx 11.11 \] Calculamos \( x^2 + y^2 \): \[ (11.11)^2 + (20)^2 \approx 123.45 + 400 = 523.45 \quad (\text{no es correcto}) \]