Se sientan en línea recta 7 hombres y 4 mujeres en forma aleatoria. Calcule la probabilidad de que todas las mujeres deben sentarse juntas.

Para calcular la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas en una fila de 7 hombres y 4 mujeres, podemos seguir estos pasos: 1. **Tratar a las mujeres como un solo bloque**: Si consideramos a las 4 mujeres como un solo "bloque", entonces tenemos 7 hombres + 1 bloque de mujeres = 8 "personas" para organizar. 2. **Calcular las permutaciones de los bloques**: Las 8 "personas" (7 hombres + 1 bloque de mujeres) se pueden organizar de \(8!\) maneras. 3. **Organizar a las mujeres dentro de su bloque**: Dentro del bloque de mujeres, las 4 mujeres se pueden organizar de \(4!\) maneras. 4. **Calcular el total de maneras de organizar a todos**: El total de maneras de organizar a los 7 hombres y 4 mujeres sin restricciones es \(11!\) (ya que hay 11 personas en total). 5. **Calcular la probabilidad**: La probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es el número de maneras de organizar a las personas con las mujeres juntas dividido por el número total de maneras de organizar a todos. Ahora, calculamos: - Número de maneras de organizar a los 8 bloques (7 hombres + 1 bloque de mujeres): \[ 8! = 40320 \] - Número de maneras de organizar a las 4 mujeres dentro de su bloque: \[ 4! = 24 \] - Total de maneras de organizar a todos: \[ 11! = 39916800 \] - Total de maneras de organizar a las personas con las mujeres juntas: \[ 8! \times 4! = 40320 \times 24 = 967680 \] - Finalmente, la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es: \[ P(\text{todas las mujeres juntas}) = \frac{8! \times 4!}{11!} = \frac{967680}{39916800} \] Calculamos la fracción: \[ P(\text{todas las mujeres juntas}) = \frac{967680}{39916800} \approx 0.0242 \] Por lo tanto, la probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es aproximadamente \(0.0242\) o \(2.42\%\).