112 Una produzione di olio può essere immessa sul mercato in 420 bottiglie da mezzo litro. Se, in alternativa, si utilizzassero delle bottiglie da tre quarti di litro ( \( 0,75 \mathrm{~L} \) ) quante bottiglie servirebbe ordinare? Calcola il valore della co- stante di proporzionalita. [280; 210\( ] \)

Per risolvere il problema, iniziamo a calcolare il volume totale di olio prodotto in litri. Se abbiamo 420 bottiglie da mezzo litro, il volume totale di olio è: \[ 420 \text{ bottiglie} \times 0,5 \text{ L/bottiglia} = 210 \text{ L} \] Ora, se decidiamo di utilizzare bottiglie da tre quarti di litro (0,75 L), dobbiamo calcolare quante bottiglie servirebbero per contenere lo stesso volume di olio. Per trovare il numero di bottiglie da 0,75 L necessarie, utilizziamo la formula: \[ \text{Numero di bottiglie} = \frac{\text{Volume totale}}{\text{Volume di una bottiglia}} \] Sostituendo i valori: \[ \text{Numero di bottiglie} = \frac{210 \text{ L}}{0,75 \text{ L/bottiglia}} = 280 \text{ bottiglie} \] Quindi, servirebbero 280 bottiglie da tre quarti di litro. Ora calcoliamo la costante di proporzionalità. La costante di proporzionalità \( k \) può essere definita come il rapporto tra il numero di bottiglie e il volume totale di olio. Possiamo calcolarla per entrambe le situazioni. 1. Per le bottiglie da mezzo litro: \[ k_1 = \frac{420 \text{ bottiglie}}{210 \text{ L}} = 2 \text{ bottiglie/L} \] 2. Per le bottiglie da tre quarti di litro: \[ k_2 = \frac{280 \text{ bottiglie}}{210 \text{ L}} = \frac{280}{210} = \frac{4}{3} \text{ bottiglie/L} \approx 1,33 \text{ bottiglie/L} \] Riassumendo, il numero di bottiglie da ordinare è 280 e la costante di proporzionalità per le bottiglie da mezzo litro è 2 bottiglie/L, mentre per le bottiglie da tre quarti di litro è circa 1,33 bottiglie/L.