Tomando los vectores a, \( \boldsymbol{b} \) y \( c \) definidos como: \( a=\{3,1,6\rangle, b=\langle-1,2,3\rangle \) y \( c=2 t+5 j-2 k \) determine el grado de verdad de la expresión (1) \[ a \text {. }(b \times c)=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} . \boldsymbol{c} \]

Para determinar el grado de verdad de la expresión dada, primero necesitamos calcular los productos vectoriales y el producto escalar de los vectores involucrados. Dado que los vectores \( \boldsymbol{a} \), \( \boldsymbol{b} \) y \( \boldsymbol{c} \) se definen de la siguiente manera: - \( \boldsymbol{a} = \langle 3, 1, 6 \rangle \) - \( \boldsymbol{b} = \langle -1, 2, 3 \rangle \) - \( \boldsymbol{c} = 2t + 5j - 2k \) Calculamos los productos vectoriales y el producto escalar de los vectores involucrados: 1. \( \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} \): \[ \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2t & 5 & -2 \end{vmatrix} \] \[ \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \boldsymbol{i}(-2 - 10t) - \boldsymbol{j}(-2 - 6t) + \boldsymbol{k}(2 + 2t) \] \[ \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} = \langle -2 - 10t, 2 + 6t, 2 + 2t \rangle \] 2. \( \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} \): \[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 3 & 1 & 6 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \] \[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{i}(3 - 12) - \boldsymbol{j}(18 - 6) + \boldsymbol{k}(6 + 3) \] \[ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \langle -9, 12, 9 \rangle \] 3. \( \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} \): \[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = (3)(2t) + (1)(5) + (6)(-2) \] \[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 6t + 5 - 12 \] \[ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 6t - 7 \] Ahora, evaluamos la expresión dada: \[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} \cdot \langle -2 - 10t, 2 + 6t, 2 + 2t \rangle \] \[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (3)(-2 - 10t) + (1)(2 + 6t) + (6)(2 + 2t) \] \[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = -6 - 30t + 2 + 6t + 12 + 12t \] \[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = -6 + 2 + 12 - 30t + 6t + 12t \] \[ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = 8 - 12t \] Por lo tanto, la expresión dada es verdadera si \( 8 - 12t = 6t - 7 \). Resolviendo esta ecuación, encontramos que la expresión es verdadera para todos los valores de \( t \).