Nichols Stewart
08/11/2023 · Senior High School
Quantos nümeros entre 1 e 100 (inclusive) sāo divisiveis por 3 ou 4 ?
UpStudy ThothAI Solution
Tutor-Verified Answer
Step-by-step Solution
Para encontrar quantos números entre 1 e 100 são divisíveis por 3 ou 4, podemos usar o princípio da inclusão-exclusão.
1. **Números divisíveis por 3:**
Os números divisíveis por 3 entre 1 e 100 formam a sequência: 3, 6, 9, ..., 99.
Essa é uma progressão aritmética onde:
- O primeiro termo \( a_1 = 3 \)
- O último termo \( a_n = 99 \)
- A razão \( r = 3 \)
Para encontrar o número de termos \( n \), usamos a fórmula do enésimo termo da PA:
\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot r
\]
Substituindo os valores:
\[
99 = 3 + (n-1) \cdot 3
\]
\[
99 - 3 = (n-1) \cdot 3
\]
\[
96 = (n-1) \cdot 3
\]
\[
n-1 = 32 \quad \Rightarrow \quad n = 33
\]
Portanto, há 33 números divisíveis por 3.
2. **Números divisíveis por 4:**
Os números divisíveis por 4 entre 1 e 100 formam a sequência: 4, 8, 12, ..., 100.
Essa também é uma PA onde:
- O primeiro termo \( a_1 = 4 \)
- O último termo \( a_n = 100 \)
- A razão \( r = 4 \)
Usando a mesma fórmula:
\[
100 = 4 + (n-1) \cdot 4
\]
\[
100 - 4 = (n-1) \cdot 4
\]
\[
96 = (n-1) \cdot 4
\]
\[
n-1 = 24 \quad \Rightarrow \quad n = 25
\]
Portanto, há 25 números divisíveis por 4.
3. **Números divisíveis por 3 e 4 (ou seja, por 12):**
Os números divisíveis por 12 entre 1 e 100 formam a sequência: 12, 24, 36, ..., 96.
Essa é uma PA onde:
- O primeiro termo \( a_1 = 12 \)
- O último termo \( a_n = 96 \)
- A razão \( r = 12 \)
Usando a fórmula novamente:
\[
96 = 12 + (n-1) \cdot 12
\]
\[
96 - 12 = (n-1) \cdot 12
\]
\[
84 = (n-1) \cdot 12
\]
\[
n-1 = 7 \quad \Rightarrow \quad n = 8
\]
Portanto, há 8 números divisíveis por 12.
4. **Aplicando o princípio da inclusão-exclusão:**
O total de números divisíveis por 3 ou 4 é dado por:
\[
N(3 \cup 4) = N(3) + N(4) - N(3 \cap 4)
\]
Substituindo os valores:
\[
N(3 \cup 4) = 33 + 25 - 8 = 50
\]
Portanto, há **50 números** entre 1 e 100 que são divisíveis por 3 ou 4.
Quick Answer
Há 50 números entre 1 e 100 que são divisíveis por 3 ou 4.
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
UpStudy ThothAI
Self-Developed and Ever-Improving
Thoth AI product is constantly being upgraded and optimized.
Covers All Major Subjects
Capable of handling homework in math, chemistry, biology, physics, and more.
Instant and Accurate
Provides immediate and precise solutions and guidance.
Try Now
Ask Tutors
Ask AI
10x
Fastest way to Get Answers & Solutions
By text
Enter your question here…
By image
Re-Upload
Submit