Setermine a áreo de um retángulo sobende op le possui 32 cm de perímetro e sua dira elte menor eque a bose.

Para determinar a área de um retângulo, precisamos conhecer suas dimensões: comprimento (L) e largura (W). Sabemos que o perímetro (P) de um retângulo é dado pela fórmula: \[ P = 2(L + W) \] Dado que o perímetro é 32 cm, podemos escrever: \[ 2(L + W) = 32 \] Dividindo ambos os lados por 2, obtemos: \[ L + W = 16 \] Agora, sabemos que a largura (W) é menor que o comprimento (L). Portanto, podemos expressar a largura em termos do comprimento: \[ W = 16 - L \] Como a largura deve ser menor que o comprimento, temos a condição: \[ 16 - L < L \] Resolvendo essa desigualdade: \[ 16 < 2L \] \[ L > 8 \] Assim, temos que \( L \) deve ser maior que 8 cm. Como \( L + W = 16 \), a largura \( W \) será menor que 8 cm. Agora, podemos expressar a área (A) do retângulo como: \[ A = L \times W \] \[ A = L \times (16 - L) \] \[ A = 16L - L^2 \] Para maximizar a área, podemos derivar a função \( A \) em relação a \( L \) e igualar a zero: \[ \frac{dA}{dL} = 16 - 2L = 0 \] \[ 2L = 16 \] \[ L = 8 \] No entanto, como \( L \) deve ser maior que 8, precisamos considerar valores de \( L \) que satisfaçam a condição \( L > 8 \) e \( W < 8 \). Vamos considerar um valor para \( L \) que seja um pouco maior que 8, por exemplo, \( L = 9 \): \[ W = 16 - 9 = 7 \] Agora, calculamos a área: \[ A = L \times W = 9 \times 7 = 63 \, \text{cm}^2 \] Se escolhermos \( L = 10 \): \[ W = 16 - 10 = 6 \] A área seria: \[ A = 10 \times 6 = 60 \, \text{cm}^2 \] Se escolhermos \( L = 11 \): \[ W = 16 - 11 = 5 \] A área seria: \[ A = 11 \times 5 = 55 \, \text{cm}^2 \] Portanto, a maior área que podemos obter, respeitando as condições dadas, é 63 cm², com \( L = 9 \) cm e \( W = 7 \) cm.