La temperatura promedio diaria en Santiago de Chile varía en el tiempo de manera periódica y se puede representar con una función trigonométrica aproximada. Supongamos que el año (que es el periodo de cambio) tiene exactamente 365 dias. El dia mas caluroso del ano, en promedio, es el 7 de enero. cuando la temperatura promedio es de aproximadamente \( 29^{\circ} \mathrm{C} \). La temperatura promedio el dia mas fresco del año es de aproximadamente \( 14^{\circ} \mathrm{C} \). Encuentra la fórmula de la función trigonométrica que representa la temperatura promedio diaria \( T \) en Santiago a los \( d \) dias del año ( \( d=1 \) el I de enero). Define la función usando radianes. \( T(d)= \) Cual es la temperatura promedio en Santiago el 31 de enero? Redondea tu respuesta a dos cifras decimales sies necesario.

Para modelar la temperatura promedio diaria \( T(d) \) en Santiago de Chile, podemos usar una función trigonométrica de la forma: \[ T(d) = A \cos(B(d - C)) + D \] donde: - \( A \) es la amplitud, - \( B \) está relacionado con el periodo, - \( C \) es el desplazamiento horizontal (fase), - \( D \) es el valor medio. ### Paso 1: Determinar los parámetros 1. **Valor medio \( D \)**: La temperatura promedio entre el día más caluroso y el más fresco se puede calcular como: \[ D = \frac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = \frac{29 + 14}{2} = 21.5 \] 2. **Amplitud \( A \)**: La amplitud es la diferencia entre el valor máximo (calor) y el valor medio: \[ A = T_{\text{max}} - D = 29 - 21.5 = 7.5 \] 3. **Periodo**: El periodo de la función es de 365 días, por lo que: \[ B = \frac{2\pi}{365} \] 4. **Desplazamiento horizontal \( C \)**: El día más caluroso es el 7 de enero, que es el día 7 del año. Para que el coseno tenga su máximo en \( d = 7 \), necesitamos que: \[ B(d - C) = 0 \quad \Rightarrow \quad d - C = 0 \quad \Rightarrow \quad C = 7 \] ### Paso 2: Escribir la función Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula: \[ T(d) = 7.5 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 7)\right) + 21.5 \] ### Paso 3: Calcular la temperatura promedio el 31 de enero El 31 de enero es el día 31 del año. Sustituyendo \( d = 31 \) en la función: \[ T(31) = 7.5 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(31 - 7)\right) + 21.5 \] Calculamos \( 31 - 7 = 24 \): \[ T(31) = 7.5 \cos\left(\frac{2\pi}{365} \cdot 24\right) + 21.5 \] Ahora calculamos \( \frac{2\pi}{365} \cdot 24 \): \[ \frac{2\pi \cdot 24}{365} \approx 0.4137 \text{ rad} \] Ahora calculamos el coseno: \[ \cos(0.4137) \approx 0.9117 \] Sustituyendo en la función: \[ T(31) = 7.5 \cdot 0.9117 + 21.5 \approx 6.88775 + 21.5 \approx 28.38775 \] Redondeando a dos cifras decimales: \[ T(31) \approx 28.39^{\circ} \mathrm{C} \] ### Respuesta final La temperatura promedio en Santiago el 31 de enero es aproximadamente \( 28.39^{\circ} \mathrm{C} \).