Dado el siguiente sistema de ecuaciones, discútelo y resuélvelo para los valores de ' \( m \) ' que lo hacen compatible. Responda la siguiente pregunta: ¿Cuándo el sistema es un Sistema Compatible Determinado y cuándo es un Sistema Compatible Indeterminado? \[ \left\{\begin{array}{rr}2 x-y+17 z=0 \\ x+2 y+m z & =5 \\ x & -5 z\end{array}\right. \] Cuando \( \mathrm{m}=\square \) es un Sistema Compatible Indeterminado. Cuando \( \mathrm{m} \neq \square \) es un Sistema Compatible Determinado.

Para analizar el sistema de ecuaciones dado: \[ \begin{cases} 2x - y + 17z = 0 \quad (1) \\ x + 2y + mz = 5 \quad (2) \\ x - 5z = 0 \quad (3) \end{cases} \] Primero, vamos a resolver la ecuación (3) para \( x \): \[ x = 5z \quad (4) \] Ahora sustituimos \( x \) en las ecuaciones (1) y (2). Sustituyendo (4) en (1): \[ 2(5z) - y + 17z = 0 \\ 10z - y + 17z = 0 \\ 27z - y = 0 \\ y = 27z \quad (5) \] Ahora sustituimos (4) y (5) en (2): \[ (5z) + 2(27z) + mz = 5 \\ 5z + 54z + mz = 5 \\ (59 + m)z = 5 \] Ahora, analizamos el sistema en función de \( z \): 1. **Si \( z = 0 \)**: - Entonces, de (4) tenemos \( x = 0 \) y de (5) tenemos \( y = 0 \). - Esto es una solución trivial: \( (x, y, z) = (0, 0, 0) \). 2. **Si \( z \neq 0 \)**: - La ecuación \( (59 + m)z = 5 \) implica que \( z = \frac{5}{59 + m} \). - Para que esta ecuación tenga solución, \( 59 + m \) debe ser diferente de cero, es decir, \( m \neq -59 \). ### Clasificación del sistema: - **Sistema Compatible Determinado**: Ocurre cuando hay una única solución. Esto sucede cuando \( m \neq -59 \) y \( z \neq 0 \). En este caso, \( x \) y \( y \) se determinan de manera única a partir de \( z \). - **Sistema Compatible Indeterminado**: Ocurre cuando hay infinitas soluciones. Esto sucede cuando \( m = -59 \). En este caso, la ecuación \( (59 + m)z = 5 \) se convierte en \( 0 = 5 \), que es una contradicción, lo que significa que no hay soluciones para \( z \neq 0 \). Sin embargo, si \( z = 0 \), entonces \( x = 0 \) y \( y = 0 \) son soluciones, pero no hay más soluciones. ### Resumen: - Cuando \( m = -59 \), el sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado**. - Cuando \( m \neq -59 \), el sistema es un **Sistema Compatible Determinado**. Por lo tanto, la respuesta es: Cuando \( m = -59 \) es un Sistema Compatible Indeterminado. Cuando \( m \neq -59 \) es un Sistema Compatible Determinado.