Dua peubah acak mempu \( I(x, y)=\left\{\begin{array}{l}k\left(x^{2}+y^{2}\right), \\ 0,\end{array}\right. \) a Carilah \( k ; \) b hitunglah \( P(1 \)

Mari kita selesaikan masalah ini langkah demi langkah. ### a. Mencari nilai \( k \) Fungsi densitas probabilitas (pdf) \( I(x, y) \) harus memenuhi syarat bahwa integral dari seluruh ruang harus sama dengan 1. Dalam hal ini, kita perlu menghitung integral dari \( I(x, y) \) di seluruh ruang yang relevan. Fungsi \( I(x, y) = k(x^2 + y^2) \) didefinisikan untuk \( x \) dan \( y \) dalam batas tertentu. Mari kita asumsikan bahwa \( x \) dan \( y \) berada dalam batas \( -a \leq x \leq a \) dan \( -a \leq y \leq a \). Kita akan menghitung integral berikut: \[ \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} k(x^2 + y^2) \, dy \, dx = 1 \] Mari kita hitung integral ini: \[ \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} (x^2 + y^2) \, dy \, dx = \int_{-a}^{a} \left( \int_{-a}^{a} x^2 \, dy + \int_{-a}^{a} y^2 \, dy \right) dx \] Integral pertama: \[ \int_{-a}^{a} x^2 \, dy = x^2 \cdot (2a) = 2a x^2 \] Integral kedua: \[ \int_{-a}^{a} y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-a}^{a} = \frac{a^3}{3} - \left(-\frac{a^3}{3}\right) = \frac{2a^3}{3} \] Jadi, kita punya: \[ \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} (x^2 + y^2) \, dy \, dx = \int_{-a}^{a} (2a x^2 + \frac{2a^3}{3}) \, dx \] Hitung integral ini: \[ = 2a \int_{-a}^{a} x^2 \, dx + \frac{2a^3}{3} \cdot (2a) \] Integral \( \int_{-a}^{a} x^2 \, dx = \frac{2a^3}{3} \), sehingga: \[ = 2a \cdot \frac{2a^3}{3} + \frac{2a^3}{3} \cdot 2a = \frac{4a^4}{3} + \frac{4a^4}{3} = \frac{8a^4}{3} \] Maka, kita punya: \[ k \cdot \frac{8a^4}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{8a^4} \] ### b. Menghitung \( P(1 < X < 2) \) Untuk menghitung probabilitas ini, kita perlu menghitung integral dari pdf \( I(x, y) \) dalam batas \( 1 < x < 2 \) dan seluruh nilai \( y \). \[ P(1 < X < 2) = \int_{1}^{2} \int_{-a}^{a} I(x, y) \, dy \, dx \] \[ = \int_{1}^{2} \int_{-a}^{a} k(x^2 + y^2) \, dy \, dx \] Kita sudah menghitung integral \( \int_{-a}^{a} (x^2 + y^2) \, dy \) sebelumnya. Sekarang kita substitusi \( k \): \[ = \int_{1}^{2} k \left( 2a x^2 + \frac{2a^3}{3} \right) \, dx \] Hitung integral ini untuk mendapatkan nilai probabilitas. ### c. Menghitung \( P(1 \leq X \leq 2) \) Probabilitas ini mirip dengan yang sebelumnya, tetapi kita juga harus mempertimbangkan batas inklusif. Namun, untuk fungsi kontinu, probabilitas pada titik tertentu adalah 0. Jadi: \[ P(1 \leq X \leq 2) = P(1 < X < 2) \] ### d. Menghitung \( P(X + Y > 1) \) Untuk menghitung probabilitas ini, kita perlu menghitung integral dari pdf \( I(x, y) \) di daerah di mana \( x + y > 1 \). \[ P(X + Y > 1) = \int \int_{x+y>1} I(x, y) \, dy \, dx \] Hitung integral ini dengan batas yang sesuai. ### Kesimpulan Untuk mendapatkan nilai numerik dari probabilitas, kita perlu melakukan perhitungan integral yang lebih mendetail. Jika Anda memiliki batasan tertentu untuk \( x \) dan \( y \), silakan berikan informasi lebih lanjut agar saya dapat membantu lebih lanjut.