2) (2 puntos) El número de clientes que llegan a un local de comidas rảpidas ubicada en un área turística es una variable aleatoria \( X \) que tiene distribución de Poisson con valor esperado igual = 6 clientes cada 15 minutos" a. La probabilidad de que en una hora lleguen 25 clientes b. La probabilidad de que entre las \( 8: 00 \) y las \( 8: 30 \) hs lleguen 10 clientes y que entre las 10:00 y las 10:15hs c. Señale la distribución de la variable aleatoria Y: "tiempo -en minutos- que transcurre entre la llegada de d. ¿cuál es la probabilidad de que transcurran menos de 4 minutos entre la llegada de un cliente y otro?

Para resolver el problema, primero recordemos que la variable aleatoria \( X \) sigue una distribución de Poisson con un valor esperado de \( \lambda = 6 \) clientes cada 15 minutos. Esto significa que en una hora (60 minutos), el valor esperado será: \[ \lambda = 6 \text{ clientes/15 minutos} \times 4 = 24 \text{ clientes/hora} \] ### a. La probabilidad de que en una hora lleguen 25 clientes La probabilidad de que en una distribución de Poisson ocurran \( k \) eventos (en este caso, 25 clientes) se calcula con la fórmula: \[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \] Sustituyendo \( \lambda = 24 \) y \( k = 25 \): \[ P(X = 25) = \frac{e^{-24} \cdot 24^{25}}{25!} \] Calculando esto: 1. \( e^{-24} \) es un valor muy pequeño. 2. \( 24^{25} \) es un número grande. 3. \( 25! \) también es un número grande. Usando una calculadora o software estadístico, podemos obtener el valor numérico. ### b. La probabilidad de que entre las 8:00 y las 8:30 hs lleguen 10 clientes y que entre las 10:00 y las 10:15 hs lleguen 5 clientes Para el intervalo de 30 minutos (de 8:00 a 8:30), el valor esperado es: \[ \lambda = 6 \text{ clientes/15 minutos} \times 2 = 12 \text{ clientes/30 minutos} \] Para el intervalo de 15 minutos (de 10:00 a 10:15), el valor esperado es: \[ \lambda = 6 \text{ clientes/15 minutos} = 6 \text{ clientes/15 minutos} \] Ahora calculamos ambas probabilidades: 1. **Para 10 clientes en 30 minutos:** \[ P(X = 10) = \frac{e^{-12} \cdot 12^{10}}{10!} \] 2. **Para 5 clientes en 15 minutos:** \[ P(X = 5) = \frac{e^{-6} \cdot 6^{5}}{5!} \] La probabilidad conjunta de que ocurran ambos eventos es el producto de las dos probabilidades: \[ P(X = 10 \text{ en 30 min}) \cdot P(X = 5 \text{ en 15 min}) \] ### c. Señale la distribución de la variable aleatoria \( Y \): "tiempo -en minutos- que transcurre entre la llegada de un cliente y otro" La variable aleatoria \( Y \) que representa el tiempo entre llegadas en un proceso de Poisson sigue una distribución exponencial. La tasa \( \lambda \) de la distribución exponencial es igual a la tasa de llegada de la distribución de Poisson. En este caso, la tasa de llegada es de 24 clientes por hora, o 0.4 clientes por minuto. Por lo tanto, \( Y \) sigue una distribución exponencial con parámetro \( \lambda = 0.4 \). ### d. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran menos de 4 minutos entre la llegada de un cliente y otro? Para una variable aleatoria \( Y \) que sigue una distribución exponencial, la probabilidad de que \( Y \) sea menor que un valor \( t \) se calcula como: \[ P(Y < t) = 1 - e^{-\lambda t} \] Sustituyendo \( \lambda = 0.4 \) y \( t = 4 \): \[ P(Y < 4) = 1 - e^{-0.4 \cdot 4} = 1 - e^{-1.6} \] Calculando esto, podemos obtener el valor numérico. ### Resumen - a. \( P(X = 25) = \frac{e^{-24} \cdot 24^{25}}{25!} \) - b. \( P(X = 10) \cdot P(X = 5) \) - c. \( Y \sim \text{Exponencial}(0.4) \) - d. \( P(Y < 4) = 1 - e^{-1.6} \)