4. Sea \( A=\{d, e, f\} \) y " \( \diamond \) " una operación definida en él. Completa la siguiente tabla si: a) " \( \diamond \) " es L.c.i b) e=d es el elemento neutro c) \( e^{\prime}=f \) y \( f^{\prime}=e \) d) " \( \diamond \) " es conmutativo

Para completar la tabla de la operación \( \diamond \) en el conjunto \( A = \{d, e, f\} \) bajo las condiciones dadas, primero definamos lo que significan cada una de las condiciones: a) " \( \diamond \) " es L.c.i (ley de composición interna), lo que significa que la operación está bien definida para todos los elementos del conjunto \( A \). b) \( e = d \) es el elemento neutro, lo que implica que para cualquier elemento \( x \in A \), se cumple que \( x \diamond e = x \) y \( e \diamond x = x \). c) \( e' = f \) y \( f' = e \) sugiere que \( e \) y \( f \) son elementos que se transforman entre sí bajo la operación inversa. d) " \( \diamond \) " es conmutativo, lo que significa que para cualquier \( x, y \in A \), se cumple que \( x \diamond y = y \diamond x \). Con estas definiciones, podemos construir la tabla de la operación \( \diamond \): \[ \begin{array}{c|ccc} \diamond & d & e & f \\ \hline d & ? & ? & ? \\ e & ? & e & ? \\ f & ? & ? & ? \\ \end{array} \] Ahora, vamos a completar la tabla siguiendo las condiciones: 1. **Elemento neutro**: Dado que \( e \) es el elemento neutro, tenemos: - \( d \diamond e = d \) - \( e \diamond d = d \) - \( e \diamond e = e \) - \( f \diamond e = f \) - \( e \diamond f = f \) 2. **Conmutatividad**: Esto implica que si \( x \diamond y = z \), entonces \( y \diamond x = z \) también debe ser cierto. 3. **Inversos**: Dado que \( e' = f \) y \( f' = e \), esto implica que: - \( e \diamond f = e \) - \( f \diamond e = f \) Con esto, podemos completar la tabla: \[ \begin{array}{c|ccc} \diamond & d & e & f \\ \hline d & d & d & ? \\ e & d & e & f \\ f & ? & f & e \\ \end{array} \] Ahora, para completar los valores que faltan, podemos asumir que \( d \diamond f = d \) y \( f \diamond d = d \) para mantener la conmutatividad y la estructura de la operación. Así, la tabla final sería: \[ \begin{array}{c|ccc} \diamond & d & e & f \\ \hline d & d & d & d \\ e & d & e & f \\ f & d & f & e \\ \end{array} \] Esta tabla cumple con todas las condiciones dadas: es una operación bien definida, tiene un elemento neutro, cumple con la propiedad de inversos y es conmutativa.