Determina si la siguiente función es * inyectiva y justifica tu respuesta. \( f(x)=x^{3}+1 \)

Para determinar si la función \( f(x) = x^3 + 1 \) es inyectiva, debemos verificar si para dos valores diferentes de \( x \), los resultados de la función son diferentes. Es decir, debemos comprobar si \( f(a) = f(b) \) implica que \( a = b \). Supongamos que \( f(a) = f(b) \): \[ a^3 + 1 = b^3 + 1 \] Restando 1 de ambos lados, obtenemos: \[ a^3 = b^3 \] Ahora, aplicamos la propiedad de que si \( a^3 = b^3 \), entonces \( a = b \). Esto se debe a que la función \( x^3 \) es una función estrictamente creciente, lo que significa que no puede tomar el mismo valor para dos entradas diferentes. Por lo tanto, hemos demostrado que si \( f(a) = f(b) \), entonces necesariamente \( a = b \). Esto implica que la función \( f(x) = x^3 + 1 \) es inyectiva. En resumen, la función \( f(x) = x^3 + 1 \) es inyectiva porque no hay dos valores diferentes de \( x \) que produzcan el mismo valor de \( f(x) \).