Hallar el ãrea de la funsión \( f(x)=3 x+1 \) en el intervalo \( [2,6] \) con 4 subintervalos

Para hallar el área bajo la curva de la función \( f(x) = 3x + 1 \) en el intervalo \([2, 6]\) utilizando 4 subintervalos, podemos aplicar el método de los rectángulos (también conocido como suma de Riemann). Primero, determinamos el ancho de cada subintervalo: 1. **Calcular el ancho de los subintervalos**: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{6 - 2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] 2. **Definir los puntos de los subintervalos**: Los puntos de división del intervalo \([2, 6]\) son: - \(x_0 = 2\) - \(x_1 = 3\) - \(x_2 = 4\) - \(x_3 = 5\) - \(x_4 = 6\) 3. **Elegir un método para calcular el área**: Usaremos el extremo izquierdo de cada subintervalo para calcular el área. Esto significa que tomaremos los valores de \(f\) en \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\) y \(x_3\). 4. **Calcular los valores de la función en los puntos**: - \(f(x_0) = f(2) = 3(2) + 1 = 7\) - \(f(x_1) = f(3) = 3(3) + 1 = 10\) - \(f(x_2) = f(4) = 3(4) + 1 = 13\) - \(f(x_3) = f(5) = 3(5) + 1 = 16\) 5. **Calcular el área de los rectángulos**: El área total se calcula como la suma de las áreas de los rectángulos: \[ A \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x = f(x_0) \Delta x + f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x \] Sustituyendo los valores: \[ A \approx (7 \cdot 1) + (10 \cdot 1) + (13 \cdot 1) + (16 \cdot 1) = 7 + 10 + 13 + 16 = 46 \] Por lo tanto, el área bajo la curva de la función \( f(x) = 3x + 1 \) en el intervalo \([2, 6]\) con 4 subintervalos es \( \boxed{46} \).