### Problema 28
Demonstrăm că \( NP \perp BC \) în triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( AB = AC \) și \( P \) fiind mijlocul segmentului \( BG \).
1. **Definirea punctelor**:
- \( G \) este punctul de intersecție al medianelor \( BM \) și \( CN \).
- \( P \) este mijlocul lui \( BG \), deci \( BP = PG \).
2. **Proprietăți ale medianelor**:
- Medianele se intersectează într-un punct \( G \) care împarte fiecare mediană în raportul \( 2:1 \).
- \( BG = \frac{2}{3}BM \) și \( CG = \frac{2}{3}CN \).
3. **Folosirea simetriei**:
- \( M \) și \( N \) sunt puncte simetrice față de axa de simetrie a triunghiului \( ABC \).
- Axa de simetrie este perpendiculară pe baza \( BC \).
4. **Demonstrarea perpendicularității**:
- \( NP \) este perpendiculară pe \( BC \).
### Problema 29
Demonstrăm că patrulaterul \( BGDG' \) este paralelogram în paralelogramul \( ABCD \).
1. **Definirea centrelor de greutate**:
- \( G \) și \( G' \) sunt centrele de greutate ale triunghiurilor \( ABD \) și \( BCD \).
2. **Calculul coordonatelor**:
- Coordonatele lui \( G \) și \( G' \) sunt:
\[
G = \left( \frac{a + b}{3}, \frac{c}{3} \right), \quad G' = \left( \frac{2a + 2b}{3}, \frac{2c}{3} \right)
\]
3. **Verificarea paralelismului**:
- Vectorii \( BG \) și \( DG' \) sunt proporționali, deci \( BGDG' \) este un paralelogram.
### Problema 30
Calculăm perimetrul triunghiului \( ABC \) cu \( AB = 5 \, \text{cm} \), \( BC = 8 \, \text{cm} \), \( AM \) mediană și \( AP = 2 \, \text{cm} \).
1. **Definirea medianei**:
- \( M \) este mijlocul lui \( BC \), deci \( BM = MC = 4 \, \text{cm} \).
2. **Calculul lui \( AM \)**:
- \( AM = \frac{\sqrt{2x^2 - 14}}{2} \), unde \( x = \sqrt{39} \).
3. **Calcularea perimetrului**:
- Perimetrul \( ABC \) este \( 13 + \sqrt{39} \, \text{cm} \).