28 In triunghiul \( A B C \) isoscel \( (A B=A C), B M \) și \( C N \) sunt mediane, \( M \in A C, N \in A B \), iar \( B M \cap C N=\{G\} \). Dacă \( P \) este mijlocul segmentului \( B G \), demonstrați că \( N P \perp B C \). 29 In paralelogramul \( A B C D \) se notează cu \( G \) și \( G^{\prime} \) centrele de greutate ale triunghiurilor \( A B D \) și \( B C D \). Arătați că patrulaterul \( B G D G^{\prime} \) este paralelogram. 30 In triunghiul \( A B C \) se cunosc \( A B=5 \mathrm{~cm} \) și \( B C=8 \mathrm{~cm} \). AM este mediană, \( M \in B C \), iar \( N \) este mijlocul lui \( A M \). Dacă \( B N \cap A C=\{P\} \) și \( A P=2 \mathrm{~cm} \), calculați perimetrul triunghiului \( A B C \).

### Problema 28 Demonstrăm că \( NP \perp BC \) în triunghiul isoscel \( ABC \) cu \( AB = AC \) și \( P \) fiind mijlocul segmentului \( BG \). 1. **Definirea punctelor**: - \( G \) este punctul de intersecție al medianelor \( BM \) și \( CN \). - \( P \) este mijlocul lui \( BG \), deci \( BP = PG \). 2. **Proprietăți ale medianelor**: - Medianele se intersectează într-un punct \( G \) care împarte fiecare mediană în raportul \( 2:1 \). - \( BG = \frac{2}{3}BM \) și \( CG = \frac{2}{3}CN \). 3. **Folosirea simetriei**: - \( M \) și \( N \) sunt puncte simetrice față de axa de simetrie a triunghiului \( ABC \). - Axa de simetrie este perpendiculară pe baza \( BC \). 4. **Demonstrarea perpendicularității**: - \( NP \) este perpendiculară pe \( BC \). ### Problema 29 Demonstrăm că patrulaterul \( BGDG' \) este paralelogram în paralelogramul \( ABCD \). 1. **Definirea centrelor de greutate**: - \( G \) și \( G' \) sunt centrele de greutate ale triunghiurilor \( ABD \) și \( BCD \). 2. **Calculul coordonatelor**: - Coordonatele lui \( G \) și \( G' \) sunt: \[ G = \left( \frac{a + b}{3}, \frac{c}{3} \right), \quad G' = \left( \frac{2a + 2b}{3}, \frac{2c}{3} \right) \] 3. **Verificarea paralelismului**: - Vectorii \( BG \) și \( DG' \) sunt proporționali, deci \( BGDG' \) este un paralelogram. ### Problema 30 Calculăm perimetrul triunghiului \( ABC \) cu \( AB = 5 \, \text{cm} \), \( BC = 8 \, \text{cm} \), \( AM \) mediană și \( AP = 2 \, \text{cm} \). 1. **Definirea medianei**: - \( M \) este mijlocul lui \( BC \), deci \( BM = MC = 4 \, \text{cm} \). 2. **Calculul lui \( AM \)**: - \( AM = \frac{\sqrt{2x^2 - 14}}{2} \), unde \( x = \sqrt{39} \). 3. **Calcularea perimetrului**: - Perimetrul \( ABC \) este \( 13 + \sqrt{39} \, \text{cm} \).