Câu 01: (a) Tìm tât cả căn bậc 5 của -1 . Từ dó phân tích \( x^{5}+1 \) thành nhân tử trên \( \mathbb{R} \). (b) Xét đa thức hệ só nguyên \( f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n} \). Chứng minh rằng \( f(x) \) không có nghiêm nguyên nếu \( f(0) \) và \( f(1) \) lẻ.

### Câu 01: #### (a) Tìm tất cả căn bậc 5 của -1 và phân tích \( x^{5}+1 \) thành nhân tử trên \( \mathbb{R} \). Để tìm tất cả các căn bậc 5 của -1, ta cần giải phương trình: \[ x^5 = -1 \] Ta có thể viết -1 dưới dạng số phức: \[ -1 = e^{i\pi} \] Căn bậc 5 của -1 sẽ có dạng: \[ x_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/5} \quad (k = 0, 1, 2, 3, 4) \] Tính toán các giá trị cho \( k \): - Với \( k = 0 \): \[ x_0 = e^{i\pi/5} \] - Với \( k = 1 \): \[ x_1 = e^{i(3\pi/5)} \] - Với \( k = 2 \): \[ x_2 = e^{i(5\pi/5)} = e^{i\pi} = -1 \] - Với \( k = 3 \): \[ x_3 = e^{i(7\pi/5)} \] - Với \( k = 4 \): \[ x_4 = e^{i(9\pi/5)} \] Các căn bậc 5 của -1 là: \[ x_0 = e^{i\pi/5}, \quad x_1 = e^{i3\pi/5}, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = e^{i7\pi/5}, \quad x_4 = e^{i9\pi/5} \] Để phân tích \( x^5 + 1 \) thành nhân tử trên \( \mathbb{R} \), ta có: \[ x^5 + 1 = x^5 - (-1) = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) \] Trong đó, \( x + 1 \) là một nhân tử rõ ràng. Để kiểm tra \( x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 \) có thể phân tích thêm hay không, ta có thể tính giá trị của nó tại các căn bậc 5 của -1. Ta thấy rằng \( x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 \) không có nghiệm thực (có thể kiểm tra bằng cách xét dấu hoặc sử dụng định lý Descartes). Do đó, phân tích cuối cùng là: \[ x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) \] #### (b) Chứng minh rằng \( f(x) \) không có nghiệm nguyên nếu \( f(0) \) và \( f(1) \) lẻ. Giả sử \( f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n \) với \( a_0, a_1, \ldots, a_n \) là các hệ số nguyên. 1. Tính \( f(0) \): \[ f(0) = a_n \] Nếu \( f(0) \) lẻ, thì \( a_n \) lẻ. 2. Tính \( f(1) \): \[ f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n \] Nếu \( f(1) \) lẻ, thì tổng các hệ số \( a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n \) lẻ. 3. Giả sử \( f(k) = 0 \) với \( k \) là một số nguyên. Khi đó, \( f(k) \) có thể viết là: \[ f(k) = a_0 k^n + a_1 k^{n-1} + \cdots + a_n = 0 \] Nếu \( k \) là số chẵn, thì \( k^n \) là chẵn, do đó \( f(k) \) sẽ là tổng của các số chẵn và \( a_n \) (lẻ) sẽ không thể làm cho tổng này bằng 0.