Huang Sullivan
01/15/2023 · Primary School
3. By using the intermediate value theorem, the two curves \( \frac{f(x)=x^{4}-x^{2}+4 x \text { and }}{16-4+8} \) \( g(x)=x+1 \) intersect in the interval \( \begin{array}{ll}\text { (a) }(2,3) & 2=3,20 \quad 3=4 \\ \text { (b) }(1,2) \\ \text { (c) }(0,1) \\ \text { (d) }(1,3) \\ \text { (e) }(-1,0) & 1=2,4\end{array} \)
UpStudy ThothAI Solution
Tutor-Verified Answer
Step-by-step Solution
لإيجاد النقاط التي تتقاطع فيها المنحنيان \( f(x) = x^{4} - x^{2} + 4x \) و \( g(x) = x + 1 \) باستخدام نظرية القيمة المتوسطة، نبدأ بحساب الفرق بين الدالتين:
\[
h(x) = f(x) - g(x) = (x^{4} - x^{2} + 4x) - (x + 1) = x^{4} - x^{2} + 3x - 1
\]
نحتاج الآن إلى إيجاد القيم لـ \( h(x) \) في النقاط المختلفة من الفترات المعطاة لنرى إذا كان هناك تغيير في الإشارة، مما يعني أن هناك نقطة تقاطع.
1. **في الفترة (2, 3)**:
\[
h(2) = 2^{4} - 2^{2} + 3 \cdot 2 - 1 = 16 - 4 + 6 - 1 = 17
\]
\[
h(3) = 3^{4} - 3^{2} + 3 \cdot 3 - 1 = 81 - 9 + 9 - 1 = 80
\]
هنا، \( h(2) > 0 \) و \( h(3) > 0 \) (لا يوجد تغيير في الإشارة).
2. **في الفترة (1, 2)**:
\[
h(1) = 1^{4} - 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 1 + 3 - 1 = 2
\]
\[
h(2) = 17 \quad (كما حسبنا سابقًا)
\]
هنا، \( h(1) > 0 \) و \( h(2) > 0 \) (لا يوجد تغيير في الإشارة).
3. **في الفترة (0, 1)**:
\[
h(0) = 0^{4} - 0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 = -1
\]
\[
h(1) = 2 \quad (كما حسبنا سابقًا)
\]
هنا، \( h(0) < 0 \) و \( h(1) > 0 \) (يوجد تغيير في الإشارة).
4. **في الفترة (1, 3)**:
\[
h(1) = 2 \quad (كما حسبنا سابقًا)
\]
\[
h(3) = 80 \quad (كما حسبنا سابقًا)
\]
هنا، \( h(1) > 0 \) و \( h(3) > 0 \) (لا يوجد تغيير في الإشارة).
5. **في الفترة (-1, 0)**:
\[
h(-1) = (-1)^{4} - (-1)^{2} + 3 \cdot (-1) - 1 = 1 - 1 - 3 - 1 = -4
\]
\[
h(0) = -1 \quad (كما حسبنا سابقًا)
\]
هنا، \( h(-1) < 0 \) و \( h(0) < 0 \) (لا يوجد تغيير في الإشارة).
بناءً على النتائج، فإن المنحنيان يتقاطعان في الفترة (0, 1).
لذا، الإجابة الصحيحة هي:
**(c) (0, 1)**.
Quick Answer
المنحنيان يتقاطعان في الفترة (0, 1). الإجابة الصحيحة هي (c) (0, 1).
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
UpStudy ThothAI
Self-Developed and Ever-Improving
Thoth AI product is constantly being upgraded and optimized.
Covers All Major Subjects
Capable of handling homework in math, chemistry, biology, physics, and more.
Instant and Accurate
Provides immediate and precise solutions and guidance.
Try Now
Ask Tutors
Ask AI
10x
Fastest way to Get Answers & Solutions
By text
Enter your question here…
By image
Re-Upload
Submit