4.2 Determine whether Rolle's Theorem applies to the given function on the given interval. If so, find the point(s) that are guaranteed to exist by Rolle's Theorem. \( f(x)=-\sin 4 x\left[\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\right. \) Select the correct choice and, if necessary, fill in the answer box to complete your choice. A. Rolle's. Thenrem annlies and the moint(c)

要确定罗尔定理是否适用于给定的函数和区间，我们需要检查以下三个条件： 1. 函数在闭区间 \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\) 上连续。 2. 函数在开区间 \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\) 上可导。 3. 函数在区间的两端点取相同的值。 ### 步骤 1：检查连续性 函数 \( f(x) = -\sin(4x) \) 是一个三角函数，而三角函数在其定义域内是连续的。因此，\( f(x) \) 在闭区间 \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\) 上是连续的。 ### 步骤 2：检查可导性 同样，三角函数在其定义域内是可导的。因此，\( f(x) \) 在开区间 \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\) 上是可导的。 ### 步骤 3：检查两端点值 我们需要计算 \( f(x) \) 在区间两端点 \(\frac{\pi}{4}\) 和 \(\frac{\pi}{2}\) 的值。 \[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -\sin(\pi) = 0 \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(2\pi) = 0 \] 由于 \( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)，函数在区间的两端点取相同的值。 ### 结论 由于函数 \( f(x) = -\sin(4x) \) 在闭区间 \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\) 上连续，在开区间 \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\) 上可导，并且在两端点取相同的值，因此罗尔定理适用于这个函数和区间。 根据罗尔定理，存在至少一个 \( c \) 在 \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\) 内，使得 \( f'(c) = 0 \)。 因此，正确答案是： A. Rolle's theorem applies, and there exists at least one \( c \) in \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\) such that \( f'(c) = 0 \).