1) \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha=-\frac{1}{5} \) 2) \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha=\frac{2}{3} \) и \( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} \) 3) \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha=\frac{5}{13} \)

Для решения задач, связанных с тригонометрическими функциями, мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Теперь решим каждую задачу по порядку. 1) **Найдем \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{1}{5} \)**. Используем основное тождество: \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{1}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \] Теперь найдем \( \sin \alpha \): \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5} \] Так как \( \cos \alpha < 0 \), это означает, что угол \( \alpha \) находится в 2-й или 3-й четверти. В 2-й четверти \( \sin \alpha \) положителен, поэтому: \[ \sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5} \] 2) **Найдем \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \) и \( 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ} \)**. Используем основное тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{4}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] Теперь найдем \( \cos \alpha \): \[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] Так как \( \alpha \) находится в 1-й четверти, \( \cos \alpha \) положителен. 3) **Найдем \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \)**. Используем основное тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] Теперь найдем \( \cos \alpha \): \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} \] Здесь знак зависит от четверти, в которой находится угол \( \alpha \). Если не указано, в какой четверти находится угол, то мы можем оставить оба значения: \[ \cos \alpha = \frac{12}{13} \quad \text{или} \quad \cos \alpha = -\frac{12}{13} \] Таким образом, ответы на задачи: 1) \( \sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5} \) 2) \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \) 3) \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \) или \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \) (в зависимости от четверти).