39. Для векторів \( \bar{a}=-3 \vec{i}+2 \vec{j}-4 k, b=2 \vec{i}+3 k \) знайти скалярний та векторний добутки. 40. Обчислити площу паралелограму побудованого на векторах \( \overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{p}}-3 \overrightarrow{\mathrm{q}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{p}}+2 \overrightarrow{\mathrm{q}} \), якщо \( |\overrightarrow{\mathrm{p}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{q}}|=5,(\overrightarrow{\mathrm{p}}, \overrightarrow{\mathrm{q}})=90^{\circ} \).

39. Для векторов \( \bar{a} = -3 \vec{i} + 2 \vec{j} - 4 \vec{k} \) и \( \bar{b} = 2 \vec{i} + 3 \vec{k} \) найдем скалярный и векторный произведения. **Скалярное произведение** \( \bar{a} \cdot \bar{b} \) вычисляется по формуле: \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \] где \( a_x, a_y, a_z \) и \( b_x, b_y, b_z \) — компоненты векторов \( \bar{a} \) и \( \bar{b} \). Подставим значения: \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = (-3)(2) + (2)(0) + (-4)(3) = -6 + 0 - 12 = -18 \] **Векторное произведение** \( \bar{a} \times \bar{b} \) вычисляется по формуле: \[ \bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 2 & -4 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель: \[ \bar{a} \times \bar{b} = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \] Теперь вычислим каждый из определителей: 1. \( \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 0 \cdot (-4) = 6 \) 2. \( \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (-3) \cdot 3 - (-4) \cdot 2 = -9 + 8 = -1 \) 3. \( \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-3) \cdot 0 - 2 \cdot 2 = -4 \) Теперь подставим результаты в формулу для векторного произведения: \[ \bar{a} \times \bar{b} = 6 \vec{i} + 1 \vec{j} - 4 \vec{k} = 6 \vec{i} + \vec{j} - 4 \vec{k} \] Таким образом, результаты: - Скалярное произведение: \( \bar{a} \cdot \bar{b} = -18 \) - Векторное произведение: \( \bar{a} \times \bar{b} = 6 \vec{i} + \vec{j} - 4 \vec{k} \) --- 40. Для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах \( \overrightarrow{\mathrm{a}} = \overrightarrow{\mathrm{p}} - 3 \overrightarrow{\mathrm{q}} \) и \( \overrightarrow{\mathrm{b}} = \overrightarrow{\mathrm{p}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{q}} \), используем формулу: \[ S = |\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}| \] Сначала найдем векторное произведение \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}} \). Векторы \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) и \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \) можно выразить через их компоненты: \[ \overrightarrow{\mathrm{a}} = \overrightarrow{\mathrm{p}} - 3 \overrightarrow{\mathrm{q}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{b}} = \overrightarrow{\mathrm{p}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{q}} \] Теперь найдем длину векторов \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) и \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \): \[ |\overrightarrow{\mathrm{a}}| = |\overrightarrow{\mathrm{p}} - 3 \overrightarrow{\mathrm{q}}| = \sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{p}}|^2 + 9|\overrightarrow{\mathrm{q}}|^2 - 6|\overrightarrow{\mathrm{p}}||\overrightarrow{\mathrm{q}}| \cos(90^\circ)} = \sqrt{1^2 + 9 \cdot 5^2} = \sqrt{1 + 225} = \sqrt{226} \] \[ |\overrightarrow{\mathrm{b}}| = |\overrightarrow{\mathrm{p}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{q}}| = \sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{p}}|^2 + 4|\overrightarrow{\mathrm{q}}|^2 + 4|\overrightarrow{\mathrm{p}}||\overrightarrow{\mathrm{q}}| \cos(90^\circ)} = \sqrt{1^2 + 4 \cdot 5^2} = \sqrt{1 + 100} = \sqrt{101} \] Теперь найдем угол между векторами \( \overrightarrow{\mathrm{a}} \) и \( \overrightarrow{\mathrm{b}} \): \[ \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}} = |\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}| \cos \theta \] Площадь параллелограмма равна: \[ S = |\overrightarrow{\mathrm{a}}| |\overrightarrow{\mathrm{b}}| \sin \theta \] Так как векторы \( \overrightarrow{\mathrm{p}} \) и \( \overrightarrow{\mathrm{q}} \) перпендикулярны, то: \[ S = |\overrightarrow{\mathrm{a}}| |\overrightarrow{\mathrm{b}}| = \sqrt{226} \cdot \sqrt{101} \] Теперь подставим значения: \[ S = \sqrt{226 \cdot 101} = \sqrt{22826} \] Таким образом, площадь параллелограмма равна \( \sqrt{22826} \).