209. Из одного города в другой выіехали, одновременно двое байке- ров. Первый проехал весв путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половнну пути со скоростью \( 80 \mathrm{kм} / \) ч, а вторую со скоростью на \( 24 \mathrm{kм} / \) ч больше, чем скорость первого байкера. Определите скорость первого байкера, если в другой город они приехали одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Обозначим скорость первого байкера как \( v \) км/ч. Тогда скорость второго байкера во второй половине пути будет \( v + 24 \) км/ч. Пусть расстояние между городами равно \( S \) км. Тогда первая половина пути составляет \( \frac{S}{2} \) км. Время, затраченное первым байкером на весь путь, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{S}{v} \] Время, затраченное вторым байкером на первую половину пути: \[ t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{80} = \frac{S}{160} \] Время, затраченное вторым байкером на вторую половину пути: \[ t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v + 24} \] Общее время второго байкера: \[ t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{160} + \frac{\frac{S}{2}}{v + 24} \] Поскольку оба байкера приехали одновременно, то \( t_1 = t_2 \): \[ \frac{S}{v} = \frac{S}{160} + \frac{\frac{S}{2}}{v + 24} \] Упростим уравнение, разделив обе стороны на \( S \) (при условии, что \( S \neq 0 \)): \[ \frac{1}{v} = \frac{1}{160} + \frac{1}{2(v + 24)} \] Теперь умножим все на \( 160v(v + 24) \) для устранения дробей: \[ 160(v + 24) = 160v + 80v(v + 24) \] Раскроем скобки: \[ 160v + 3840 = 160v + 80v^2 + 1920v \] Сократим \( 160v \) с обеих сторон: \[ 3840 = 80v^2 + 1920v \] Перепишем уравнение: \[ 80v^2 + 1920v - 3840 = 0 \] Разделим все на 80: \[ v^2 + 24v - 48 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 576 + 192 = 768 \] Теперь найдем корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm \sqrt{768}}{2} \] Вычислим \( \sqrt{768} \): \[ \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3} \] Теперь подставим это значение: \[ v = \frac{-24 \pm 16\sqrt{3}}{2} = -12 \pm 8\sqrt{3} \] Поскольку скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень: \[ v = -12 + 8\sqrt{3} \] Теперь вычислим значение \( v \): Приблизительно \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ v \approx -12 + 8 \cdot 1.732 \approx -12 + 13.856 \approx 1.856 \text{ км/ч} \] Это значение слишком маленькое, давайте пересчитаем: \[ v \approx -12 + 8 \cdot 1.732 \approx -12 + 13.856 \approx 1.856 \text{ км/ч} \] Проверим, возможно, где-то была ошибка. На самом деле, \( 8\sqrt{3} \) — это 13.856, и если мы добавим к -12, то получим 1.856, что не может быть правильным. Давайте пересчитаем: \[ v = -12 + 8\sqrt{3} \approx 1.856 \text{ км/ч} \] Это не может быть правильным. Давайте попробуем другой подход, чтобы найти скорость первого байкера. Скорость первого байк