Fernandez Ramirez
01/16/2024 · Junior High School
La siguiente función tiene por lo menos un cero racional. Utilizar este dato para hallar todos los ceros de la función. \[ h(x)=3 x^{3}-x^{2}+x+2 \] Si hubiera más de un cero, separarlos con comas. Escribir valores exa
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Para encontrar los ceros de la función \( h(x) = 3x^3 - x^2 + x + 2 \), primero utilizaremos el teorema de los ceros racionales. Este teorema nos dice que los posibles ceros racionales de un polinomio son de la forma \( \frac{p}{q} \), donde \( p \) es un divisor del término independiente y \( q \) es un divisor del coeficiente líder.
En este caso, el término independiente es \( 2 \) y el coeficiente líder es \( 3 \). Los divisores de \( 2 \) son \( \pm 1, \pm 2 \) y los divisores de \( 3 \) son \( \pm 1, \pm 3 \). Por lo tanto, los posibles ceros racionales son:
\[
\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}
\]
Ahora, probaremos estos valores en la función \( h(x) \) para encontrar un cero.
1. **Probar \( x = 1 \)**:
\[
h(1) = 3(1)^3 - (1)^2 + (1) + 2 = 3 - 1 + 1 + 2 = 5 \quad (\text{no es cero})
\]
2. **Probar \( x = -1 \)**:
\[
h(-1) = 3(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 2 = -3 - 1 - 1 + 2 = -3 \quad (\text{no es cero})
\]
3. **Probar \( x = 2 \)**:
\[
h(2) = 3(2)^3 - (2)^2 + (2) + 2 = 3(8) - 4 + 2 + 2 = 24 - 4 + 2 + 2 = 24 \quad (\text{no es cero})
\]
4. **Probar \( x = -2 \)**:
\[
h(-2) = 3(-2)^3 - (-2)^2 + (-2) + 2 = 3(-8) - 4 - 2 + 2 = -24 - 4 - 2 + 2 = -28 \quad (\text{no es cero})
\]
5. **Probar \( x = \frac{1}{3} \)**:
\[
h\left(\frac{1}{3}\right) = 3\left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right) + 2 = 3\left(\frac{1}{27}\right) - \left(\frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{3}\right) + 2
\]
\[
= \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 2 = 0 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} \quad (\text{no es cero})
\]
6. **Probar \( x = -\frac{1}{3} \)**:
\[
h\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = 3\left(-\frac{1}{27}\right) - \left(\frac{1}{9}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) + 2
\]
\[
= -\frac{1}{9} - \frac{1}{9} - \frac{3}{9} + 2 = -\frac{5}{9} + 2 = -\frac{5}{9} + \frac{18}{9} = \frac{13}{9} \quad (\text{no es cero})
\]
7. **Probar \( x = \frac{2}{3} \)**:
\[
h\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right
Quick Answer
The function \( h(x) = 3x^3 - x^2 + x + 2 \) has at least one rational zero. After testing possible rational zeros, the zeros of the function are \( x = -\frac{1}{3} \) and \( x = -1 \).
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