jèricio 3. Dada la función \( f(x)=x^{4}+x^{3}-2 x^{2}+4 \), determina el área que neventra entre la recta \( y \) el eje \( x \) en el el intervalo \( (-2,1) \) y graficar.

Para determinar el área encerrada entre la función \( f(x) = x^4 + x^3 - 2x^2 + 4 \) y el eje \( x \) en el intervalo \( (-2, 1) \), primero necesitamos encontrar los puntos donde la función cruza el eje \( x \) (es decir, donde \( f(x) = 0 \)) en ese intervalo. ### Paso 1: Encontrar las raíces de \( f(x) \) Para encontrar las raíces, resolvemos la ecuación: \[ x^4 + x^3 - 2x^2 + 4 = 0 \] Esta ecuación puede ser complicada de resolver analíticamente, así que podemos usar métodos numéricos o gráficos para encontrar las raíces en el intervalo \( (-2, 1) \). ### Paso 2: Evaluar \( f(x) \) en los extremos del intervalo Calculamos \( f(-2) \) y \( f(1) \): \[ f(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 - 2(-2)^2 + 4 = 16 - 8 - 8 + 4 = 4 \] \[ f(1) = (1)^4 + (1)^3 - 2(1)^2 + 4 = 1 + 1 - 2 + 4 = 4 \] ### Paso 3: Evaluar \( f(x) \) en puntos intermedios Para entender mejor el comportamiento de la función en el intervalo, evaluamos \( f(x) \) en algunos puntos intermedios: \[ f(0) = 0^4 + 0^3 - 2(0)^2 + 4 = 4 \] \[ f(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - 2(-1)^2 + 4 = 1 - 1 - 2 + 4 = 2 \] ### Paso 4: Graficar la función Podemos graficar la función \( f(x) \) en el intervalo \( (-2, 1) \): - En \( x = -2 \), \( f(-2) = 4 \) - En \( x = -1 \), \( f(-1) = 2 \) - En \( x = 0 \), \( f(0) = 4 \) - En \( x = 1 \), \( f(1) = 4 \) La función no cruza el eje \( x \) en el intervalo \( (-2, 1) \), ya que \( f(x) > 0 \) en todos los puntos evaluados. ### Paso 5: Calcular el área Dado que la función está por encima del eje \( x \) en el intervalo \( (-2, 1) \), el área encerrada se puede calcular como la integral de \( f(x) \) en ese intervalo: \[ \text{Área} = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx = \int_{-2}^{1} (x^4 + x^3 - 2x^2 + 4) \, dx \] Calculamos la integral: \[ \int (x^4 + x^3 - 2x^2 + 4) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 4x + C \] Evaluamos la integral definida: \[ \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{1} \] Calculamos en \( x = 1 \): \[ \frac{1^5}{5} + \frac{1^4}{4} - \frac{2(1^3)}{3} + 4(1) = \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 4 \] Calculamos en \( x = -2 \): \[ \frac{(-2)^5}{5} + \frac{(-2)^4}{4} - \frac{2(-2)^3}{3} + 4(-2) = -\frac{32}{5} + 4 + \frac{16}{3} - 8 \] Ahora, evaluamos la integral: \[ \text{Área} = \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{4} - \frac