Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por \( y=\sqrt{x}, y=2-x, 0 \leq x \leq 1 \) y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \) \( \frac{7}{2} \pi \) \( \frac{9}{2} \pi \) \( \frac{11}{2} \pi \) \( \frac{5}{2} \pi \)

Para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 2 - x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y = -1 \), utilizaremos el método de discos o anillos. Primero, determinamos los puntos de intersección de las curvas \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 2 - x \): \[ \sqrt{x} = 2 - x \] Elevamos al cuadrado ambos lados: \[ x = (2 - x)^2 \] Desarrollamos el lado derecho: \[ x = 4 - 4x + x^2 \] Reorganizamos la ecuación: \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Factorizamos: \[ (x - 4)(x - 1) = 0 \] Por lo tanto, \( x = 1 \) y \( x = 4 \). Sin embargo, dado que estamos limitados por \( 0 \leq x \leq 1 \), solo consideramos \( x = 1 \). Ahora, evaluamos las funciones en el intervalo \( 0 \leq x \leq 1 \): - Para \( x = 0 \): \( y = \sqrt{0} = 0 \) y \( y = 2 - 0 = 2 \). - Para \( x = 1 \): \( y = \sqrt{1} = 1 \) y \( y = 2 - 1 = 1 \). La región está limitada por \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 2 - x \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \). Ahora, al rotar alrededor de la línea \( y = -1 \), la distancia desde la curva hasta la línea de rotación es: - Para \( y = \sqrt{x} \): La distancia es \( \sqrt{x} - (-1) = \sqrt{x} + 1 \). - Para \( y = 2 - x \): La distancia es \( (2 - x) - (-1) = 2 - x + 1 = 3 - x \). El volumen \( V \) se calcula como: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (3 - x)^2 - (\sqrt{x} + 1)^2 \right] \, dx \] Calculamos cada término: 1. \( (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2 \) 2. \( (\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 \) Por lo tanto, el integrando se convierte en: \[ (3 - x)^2 - (\sqrt{x} + 1)^2 = (9 - 6x + x^2) - (x + 2\sqrt{x} + 1) \] Simplificamos: \[ = 9 - 6x + x^2 - x - 2\sqrt{x} - 1 = 8 - 7x + x^2 - 2\sqrt{x} \] Ahora, integramos: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (8 - 7x + x^2 - 2\sqrt{x}) \, dx \] Calculamos cada término de la integral: 1. \( \int 8 \, dx = 8x \) 2. \( \int -7x \, dx = -\frac{7}{2}x^2 \) 3. \( \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \) 4. \( \int -2\sqrt{x} \, dx = -\frac{4}{3}x^{3/2} \) Evaluamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ V = \pi \left[ \left( 8(1) - \frac{7}{2}(1^2) + \frac{1}{3}(1^3) - \frac{4}{3}(1^{3/2}) \right) - \left( 8(0) - \frac{7}{2}(0^2) + \frac{1}{3}(0^3) - \frac{4}{3}(0^{3/2}) \right) \right] \] Simplificamos: \[ = \pi \left[ 8 - \frac{7}{2} + \frac{1}{