Valor 1.0) Para el siguiente sistema determinar los valores de \( \alpha \) para los aales el sistema. a) No es soluble b) Tiene solucion única c) Tiene infinitas soluciones \[ \begin{array}{l} \alpha x+y+z=2 \alpha-1 \\ x+\alpha y+z=\alpha^{2} \\ x+y+\alpha z=3-2 \alpha\end{array} \]

Para analizar el sistema de ecuaciones dado y determinar los valores de \( \alpha \) para cada caso (no soluble, solución única, infinitas soluciones), primero escribimos el sistema en forma matricial: \[ \begin{bmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\alpha - 1 \\ \alpha^2 \\ 3 - 2\alpha \end{bmatrix} \] Denotemos la matriz de coeficientes como \( A \) y el vector de términos independientes como \( \mathbf{b} \): \[ A = \begin{bmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2\alpha - 1 \\ \alpha^2 \\ 3 - 2\alpha \end{bmatrix} \] ### Paso 1: Determinante de la matriz \( A \) Para determinar si el sistema tiene solución única, debemos calcular el determinante de la matriz \( A \): \[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \alpha \end{vmatrix} \] Usamos la regla de Sarrus o la expansión por cofactores. Calculamos el determinante: \[ \text{det}(A) = \alpha \begin{vmatrix} \alpha & 1 \\ 1 & \alpha \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \alpha \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & \alpha \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \] Calculamos los determinantes de \( 2 \times 2 \): \[ \begin{vmatrix} \alpha & 1 \\ 1 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha^2 - 1 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha - 1 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & \alpha \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - \alpha \] Sustituyendo en la expresión del determinante: \[ \text{det}(A) = \alpha (\alpha^2 - 1) - (\alpha - 1) + (1 - \alpha) \] Simplificamos: \[ \text{det}(A) = \alpha^3 - \alpha - \alpha + 1 + 1 - \alpha = \alpha^3 - 3\alpha + 2 \] ### Paso 2: Análisis del determinante Ahora, para determinar los casos: 1. **No es soluble**: El sistema no es soluble si \( \text{det}(A) = 0 \) y el vector \( \mathbf{b} \) no está en el rango de \( A \). Para encontrar los valores de \( \alpha \) que hacen que \( \text{det}(A) = 0 \): \[ \alpha^3 - 3\alpha + 2 = 0 \] Factorizamos el polinomio: \[ (\alpha - 1)(\alpha^2 + \alpha - 2) = 0 \] Resolviendo \( \alpha^2 + \alpha - 2 = 0 \) usando la fórmula cuadrática: \[ \alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Esto da: \[ \alpha = 1 \quad \text{y} \quad \alpha = -2 \] Por lo tanto, los valores de \( \alpha \) que hacen que \( \text{det}(A) = 0 \) son \( \alpha = 1 \) y \( \alpha = -2 \). Para que el sistema no sea soluble, debemos verificar si \( \mathbf{b} \) no está en el rango de \( A \) para estos valores. Esto puede requerir un análisis adicional, pero generalmente, si \( \text{det}(A) =