D) $$ 320^{n} \cdot 4 $$ 4. El largo de un rectángulo mide el triple de su ancho. Si su ancho mide $$ 3^{k} \mathrm{~mm} $$, con $$ k $$ un número entero positivo, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el área del rectángulo, en $$ \mathrm{mm}^{2} $$ ? A) $$ 9^{k+k^{2}} $$ B) $$ 9^{2 k+1} $$ C) $$ 3^{2 k+1} $$ D) $$ 3^{k+k^{2}} $$

Question

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La expresión que representa el área del rectángulo es $$ 3^{2k+1} $$. La respuesta correcta es C. Para resolver este problema, primero recordemos la fórmula para el área de un rectángulo, que es el producto de su largo y su ancho. Dado que el largo del rectángulo es el triple de su ancho, y el ancho mide $$ 3^{k} $$ mm, el largo será $$ 3 \times 3^{k} = 3^{k+1} $$ mm. Ahora, el área del rectángulo es el producto de su largo y su ancho: $$ \text{Área} = \text{Largo} \times \text{Ancho} = 3^{k+1} \times 3^{k} $$ Para multiplicar potencias con la misma base, sumamos los exponentes: $$ 3^{k+1} \times 3^{k} = 3^{(k+1) + k} = 3^{2k+1} $$ Por lo tanto, la expresión que representa el área del rectángulo en $$ \mathrm{mm}^{2} $$ es: $$ \boxed{3^{2k+1}} $$ La respuesta correcta es C) $$ 3^{2k+1} $$.

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