Justifier qu' on a. \( 1964^{1710} \equiv 9^{1710}[16] \)

Pour justifier que \( 1964^{1710} \equiv 9^{1710} \mod 16 \), nous allons d'abord réduire \( 1964 \) modulo \( 16 \). Calculons \( 1964 \mod 16 \) : \[ 1964 \div 16 = 122.75 \quad \text{(nous prenons la partie entière, qui est 122)} \] \[ 122 \times 16 = 1952 \] \[ 1964 - 1952 = 12 \] Donc, \( 1964 \equiv 12 \mod 16 \). Maintenant, nous devons vérifier si \( 12^{1710} \equiv 9^{1710} \mod 16 \). Pour cela, nous allons réduire \( 12 \) et \( 9 \) modulo \( 16 \). Calculons \( 12 \mod 16 \) et \( 9 \mod 16 \) : \[ 12 \equiv 12 \mod 16 \] \[ 9 \equiv 9 \mod 16 \] Nous allons maintenant vérifier si \( 12^{1710} \equiv 9^{1710} \mod 16 \). Pour cela, nous allons d'abord calculer \( 12^1 \), \( 12^2 \), et \( 12^3 \) modulo \( 16 \) : \[ 12^1 \equiv 12 \mod 16 \] \[ 12^2 = 144 \quad \Rightarrow \quad 144 \mod 16 = 0 \] Ainsi, \( 12^2 \equiv 0 \mod 16 \). Par conséquent, pour tout \( n \geq 2 \), \( 12^n \equiv 0 \mod 16 \). Donc, \( 12^{1710} \equiv 0 \mod 16 \). Maintenant, calculons \( 9^{1710} \mod 16 \). Nous allons d'abord calculer quelques puissances de \( 9 \) modulo \( 16 \) : \[ 9^1 \equiv 9 \mod 16 \] \[ 9^2 = 81 \quad \Rightarrow \quad 81 \mod 16 = 1 \] Nous avons donc \( 9^2 \equiv 1 \mod 16 \). Cela signifie que pour tout \( n \) pair, \( 9^{2n} \equiv 1 \mod 16 \). Puisque \( 1710 \) est pair, nous avons : \[ 9^{1710} = (9^2)^{855} \equiv 1^{855} \equiv 1 \mod 16 \] Maintenant, nous avons : \[ 12^{1710} \equiv 0 \mod 16 \] \[ 9^{1710} \equiv 1 \mod 16 \] Ainsi, nous avons : \[ 12^{1710} \not\equiv 9^{1710} \mod 16 \] En conclusion, l'énoncé \( 1964^{1710} \equiv 9^{1710} \mod 16 \) est incorrect. En fait, nous avons montré que \( 1964^{1710} \equiv 0 \mod 16 \) et \( 9^{1710} \equiv 1 \mod 16 \).