68. Сумма второго и четвёртого членов арифметической про- грессии равна 7 , а произведение этих членов равно 10. Найдите прогрессию.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность прогрессии как \( d \). Тогда второй и четвёртый члены можно выразить следующим образом: - Второй член: \( a + d \) - Четвёртый член: \( a + 3d \) Согласно условию задачи, сумма второго и четвёртого членов равна 7: \[ (a + d) + (a + 3d) = 7 \] Упрощая это уравнение, получаем: \[ 2a + 4d = 7 \] Разделим всё на 2: \[ a + 2d = \frac{7}{2} \quad (1) \] Также известно, что произведение второго и четвёртого членов равно 10: \[ (a + d)(a + 3d) = 10 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + 3ad + ad + 3d^2 = 10 \] Упрощаем: \[ a^2 + 4ad + 3d^2 = 10 \quad (2) \] Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим \( a \): \[ a = \frac{7}{2} - 2d \] Подставим это значение в уравнение (2): \[ \left(\frac{7}{2} - 2d\right)^2 + 4\left(\frac{7}{2} - 2d\right)d + 3d^2 = 10 \] Раскроем скобки: \[ \left(\frac{49}{4} - 14d + 4d^2\right) + \left(14d - 8d^2\right) + 3d^2 = 10 \] Соберем все члены: \[ \frac{49}{4} - 14d + 4d^2 + 14d - 8d^2 + 3d^2 = 10 \] Упрощаем: \[ \frac{49}{4} - d^2 = 10 \] Переносим 10 в левую часть: \[ \frac{49}{4} - 10 = d^2 \] Приведем 10 к общему знаменателю: \[ \frac{49}{4} - \frac{40}{4} = d^2 \] Получаем: \[ \frac{9}{4} = d^2 \] Следовательно, \( d = \frac{3}{2} \) или \( d = -\frac{3}{2} \). Теперь подставим значение \( d \) обратно в уравнение (1) для нахождения \( a \). 1. Если \( d = \frac{3}{2} \): \[ a + 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \] \[ a + 3 = \frac{7}{2} \] \[ a = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2} \] Таким образом, первый член \( a = \frac{1}{2} \), а разность \( d = \frac{3}{2} \). Прогрессия: \( \frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2}, 4, \ldots \) 2. Если \( d = -\frac{3}{2} \): \[ a + 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{7}{2} \] \[ a - 3 = \frac{7}{2} \] \[ a = \frac{7}{2} + 3 = \frac{7}{2} + \frac{6}{2} = \frac{13}{2} \] Таким образом, второй вариант: \( a = \frac{13}{2} \), \( d = -\frac{3}{2} \). Прогрессия: \( \frac{13}{2}, 5, \frac{7}{2}, 1, \ldots \) Итак, возможные арифметические прогрессии: 1. \( \frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2},