51 Pour tout nombre complexe \( z=x+\mathrm{i} y \), on associe le complexe \( Z=z^{2}-2 \mathrm{i} z+2 \). 1. Écrire \( Z \) sous forme algébrique en fonction de \( x \) et de \( y \). 2. Si \( z \) est réel, montrer que \( Z \) est réel. 3. La réciproque est-elle vraie? 4. Déterminer l'ensemble des nombres complexes \( z \) tel que \( Z \) soit réel.

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape. 1. **Écrire \( Z \) sous forme algébrique en fonction de \( x \) et de \( y \)**. On a \( z = x + \mathrm{i} y \). Calculons \( Z = z^2 - 2 \mathrm{i} z + 2 \). - Calculons \( z^2 \) : \[ z^2 = (x + \mathrm{i} y)^2 = x^2 + 2\mathrm{i}xy - y^2 = (x^2 - y^2) + \mathrm{i}(2xy). \] - Calculons \( -2 \mathrm{i} z \) : \[ -2 \mathrm{i} z = -2 \mathrm{i}(x + \mathrm{i} y) = -2 \mathrm{i} x - 2(-1)y = 2y - 2 \mathrm{i} x. \] - Maintenant, ajoutons ces résultats : \[ Z = (x^2 - y^2 + 2) + \mathrm{i}(2xy - 2x). \] Donc, sous forme algébrique, on a : \[ Z = (x^2 - y^2 + 2) + \mathrm{i}(2xy - 2x). \] 2. **Si \( z \) est réel, montrer que \( Z \) est réel**. Si \( z \) est réel, alors \( y = 0 \). Remplaçons \( y \) par \( 0 \) dans l'expression de \( Z \) : \[ Z = (x^2 - 0^2 + 2) + \mathrm{i}(2x \cdot 0 - 2x) = (x^2 + 2) + \mathrm{i}(-2x). \] Pour que \( Z \) soit réel, la partie imaginaire doit être nulle : \[ -2x = 0 \implies x = 0. \] Donc, si \( z \) est réel, \( Z \) est réel si et seulement si \( z = 0 \). 3. **La réciproque est-elle vraie ?** Nous avons montré que si \( z \) est réel, alors \( Z \) est réel uniquement pour \( z = 0 \). Cependant, \( Z \) peut être réel pour d'autres valeurs de \( z \) complexes. Par exemple, si \( z = 1 + \mathrm{i} \), alors : \[ Z = (1 + \mathrm{i})^2 - 2 \mathrm{i}(1 + \mathrm{i}) + 2. \] Calculons : \[ (1 + \mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} - 1 = 2\mathrm{i}, \] \[ -2 \mathrm{i}(1 + \mathrm{i}) = -2 \mathrm{i} - 2(-1) = -2 \mathrm{i} + 2. \] Donc, \[ Z = 2\mathrm{i} + 2 - 2\mathrm{i} = 2, \] qui est réel. Ainsi, la réciproque n'est pas vraie. 4. **Déterminer l'ensemble des nombres complexes \( z \) tel que \( Z \) soit réel**. Pour que \( Z \) soit réel, la partie imaginaire de \( Z \) doit être nulle : \[ 2xy - 2x = 0. \] Factorisons : \[ 2x(y - 1) = 0. \] Cela nous donne deux cas : - \( x = 0 \) : Dans ce cas, \( z = \mathrm{i}y \) pour tout \( y \) réel. - \( y = 1 \) : Dans ce cas, \( z = x + \mathrm{i} \) pour tout \( x \) réel. Donc, l'ensemble des nombres complexes \( z \) tel que \( Z \) soit réel est donné par : \[ z = \mathrm{i}y \quad (y \in \mathbb{R}) \quad \text{ou} \quad z = x + \mathrm{i} \quad (x \in \mathbb{R}). \]