2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el pmro de intrisección entre la circunfirencia centro \( (1,1) \) y radio 3 yla recta \( x+y=1 \). La pendiente de la recta es paralela a \( 2 x-y=1 \) \( \frac{2-1}{2} \)

Para determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección entre la circunferencia y la recta dada, y que tiene una pendiente paralela a la recta \(2x - y = 1\), seguimos estos pasos: 1. **Encontrar el punto de intersección** entre la circunferencia y la recta. La ecuación de la circunferencia con centro \((1, 1)\) y radio \(3\) es: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 3^2 \] Simplificando, tenemos: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 9 \] La ecuación de la recta es: \[ x + y = 1 \quad \text{(o } y = 1 - x\text{)} \] Sustituyendo \(y = 1 - x\) en la ecuación de la circunferencia: \[ (x - 1)^2 + ((1 - x) - 1)^2 = 9 \] Simplificando: \[ (x - 1)^2 + (-x)^2 = 9 \] \[ (x - 1)^2 + x^2 = 9 \] \[ (x^2 - 2x + 1) + x^2 = 9 \] \[ 2x^2 - 2x + 1 = 9 \] \[ 2x^2 - 2x - 8 = 0 \] Dividiendo entre 2: \[ x^2 - x - 4 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática para resolver: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \] Entonces, tenemos dos soluciones para \(x\): \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \] Ahora, encontramos los valores correspondientes de \(y\): \[ y_1 = 1 - x_1 = 1 - \frac{1 + \sqrt{17}}{2} = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \] \[ y_2 = 1 - x_2 = 1 - \frac{1 - \sqrt{17}}{2} = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \] Por lo tanto, los puntos de intersección son: \[ P_1 = \left( \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \right) \] \[ P_2 = \left( \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right) \] 2. **Determinar la pendiente de la recta**. La pendiente de la recta \(2x - y = 1\) se puede encontrar reescribiéndola en la forma \(y = mx + b\): \[ y = 2x - 1 \] La pendiente \(m\) es \(2\). 3. **Encontrar la ecuación de la recta**. La ecuación de la recta que pasa por uno de los puntos de intersección y tiene pendiente \(2\) se puede escribir como: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Usando el punto \(P_1\): \[ y - \frac{1 - \sqrt{17}}{2} = 2\left(x - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right) \] Simplificando: \[ y - \frac{1 - \sqrt{17}}{2} = 2x - (1 + \sqrt{17}) \] \[ y = 2x - 1 - \sqrt{17} + \frac{1 - \sqrt