Newton Peterson
02/02/2024 · Junior High School
\( \left\{ \begin{array} { l } { 3 x + a y = 3 a + 1 } \\ { x / a + a y = 2 } \end{array} \right. \)
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Step-by-step Solution
Para resolver el sistema de ecuaciones:
\[
\left\{
\begin{array} { l }
3x + ay = 3a + 1 \\
\frac{x}{a} + ay = 2
\end{array}
\right.
\]
Primero, despejamos \(y\) en términos de \(x\) y \(a\) a partir de la primera ecuación:
1. \(3x + ay = 3a + 1\)
Despejamos \(ay\):
\[
ay = 3a + 1 - 3x
\]
Por lo tanto:
\[
y = \frac{3a + 1 - 3x}{a}
\]
Ahora sustituimos \(y\) en la segunda ecuación:
2. \(\frac{x}{a} + ay = 2\)
Sustituyendo \(y\):
\[
\frac{x}{a} + a\left(\frac{3a + 1 - 3x}{a}\right) = 2
\]
Simplificamos:
\[
\frac{x}{a} + 3a + 1 - 3x = 2
\]
Multiplicamos toda la ecuación por \(a\) para eliminar el denominador:
\[
x + a(3a + 1) - 3ax = 2a
\]
Reorganizamos:
\[
x - 3ax + 3a^2 + a - 2a = 0
\]
\[
x(1 - 3a) + 3a^2 - a = 0
\]
Despejamos \(x\):
\[
x(1 - 3a) = a - 3a^2
\]
\[
x = \frac{a - 3a^2}{1 - 3a} \quad \text{(si } 1 - 3a \neq 0\text{)}
\]
Ahora sustituimos \(x\) en la expresión de \(y\):
\[
y = \frac{3a + 1 - 3\left(\frac{a - 3a^2}{1 - 3a}\right)}{a}
\]
Simplificamos esta expresión para encontrar \(y\).
Finalmente, si \(1 - 3a = 0\), es decir, \(a = \frac{1}{3}\), debemos analizar el sistema de ecuaciones para ese caso particular.
Si necesitas más detalles o un paso específico, házmelo saber.
Quick Answer
Para resolver el sistema de ecuaciones:
\[
\left\{
\begin{array} { l }
3x + ay = 3a + 1 \\
\frac{x}{a} + ay = 2
\end{array}
\right.
\]
Despejamos \(y\) en términos de \(x\) y \(a\) de la primera ecuación y luego sustituimos en la segunda. Finalmente, despejamos \(x\) y \(y\) de las ecuaciones resultantes.
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