oemeestra si la Formula \( a n=\frac{n^{3}}{n^{3}-n} \) \( \epsilon s \) una sucesión aritmetica

Para determinar si la sucesión definida por la fórmula \[ a_n = \frac{n^{3}}{n^{3}-n} \] es una sucesión aritmética, debemos recordar que una sucesión aritmética es aquella en la que la diferencia entre términos consecutivos es constante. Es decir, para una sucesión \( a_n \), la diferencia \( d = a_{n+1} - a_n \) debe ser la misma para todos los \( n \). Primero, calculemos \( a_{n+1} \): \[ a_{n+1} = \frac{(n+1)^{3}}{(n+1)^{3} - (n+1)} \] Ahora, expandamos \( (n+1)^{3} \): \[ (n+1)^{3} = n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1 \] Por lo tanto, \[ a_{n+1} = \frac{n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1}{(n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1) - (n + 1)} = \frac{n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1}{n^{3} + 3n^{2} + 2n} \] Ahora, calculemos la diferencia \( d = a_{n+1} - a_n \): \[ d = \frac{n^{3} + 3n^{2} + 3n + 1}{n^{3} + 3n^{2} + 2n} - \frac{n^{3}}{n^{3} - n} \] Para simplificar esta expresión, necesitamos un denominador común. El denominador común sería \( (n^{3} + 3n^{2} + 2n)(n^{3} - n) \). Sin embargo, en lugar de realizar una simplificación extensa, podemos observar que la forma de \( a_n \) y \( a_{n+1} \) es bastante compleja y no parece que la diferencia \( d \) sea constante. Para verificar esto, podemos calcular algunos términos de la sucesión: - Para \( n = 1 \): \[ a_1 = \frac{1^3}{1^3 - 1} = \frac{1}{0} \quad \text{(indeterminado)} \] - Para \( n = 2 \): \[ a_2 = \frac{2^3}{2^3 - 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] - Para \( n = 3 \): \[ a_3 = \frac{3^3}{3^3 - 3} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \] - Para \( n = 4 \): \[ a_4 = \frac{4^3}{4^3 - 4} = \frac{64}{60} = \frac{16}{15} \] Calculando las diferencias: - \( a_2 - a_1 \) es indeterminado. - \( a_3 - a_2 = \frac{9}{8} - \frac{4}{3} = \frac{27}{24} - \frac{32}{24} = -\frac{5}{24} \) - \( a_4 - a_3 = \frac{16}{15} - \frac{9}{8} = \frac{128}{120} - \frac{135}{120} = -\frac{7}{120} \) Como las diferencias no son constantes, podemos concluir que la sucesión \( a_n \) no es una sucesión aritmética.