Se arroja verticalmente hacia arriba un cuerpo on una velocidad inicial de \( 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). ¿A qué altura atará cuando su velocidad sea de \( 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) ?. Hallar a altura máxima alcanzada.

Para resolver el problema, utilizaremos las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. En este caso, el cuerpo se mueve bajo la influencia de la gravedad, que actúa hacia abajo con una aceleración de \( g = 9.81 \, \mathrm{m/s^2} \). ### 1. Altura cuando la velocidad es \( 10 \, \mathrm{m/s} \) Usamos la siguiente ecuación de movimiento: \[ v^2 = v_0^2 - 2g h \] donde: - \( v \) es la velocidad final (\( 10 \, \mathrm{m/s} \)), - \( v_0 \) es la velocidad inicial (\( 30 \, \mathrm{m/s} \)), - \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (\( 9.81 \, \mathrm{m/s^2} \)), - \( h \) es la altura alcanzada. Reorganizamos la ecuación para encontrar \( h \): \[ h = \frac{v_0^2 - v^2}{2g} \] Sustituyendo los valores: \[ h = \frac{(30 \, \mathrm{m/s})^2 - (10 \, \mathrm{m/s})^2}{2 \cdot 9.81 \, \mathrm{m/s^2}} \] Calculamos: \[ h = \frac{900 \, \mathrm{m^2/s^2} - 100 \, \mathrm{m^2/s^2}}{19.62 \, \mathrm{m/s^2}} = \frac{800 \, \mathrm{m^2/s^2}}{19.62 \, \mathrm{m/s^2}} \approx 40.8 \, \mathrm{m} \] Por lo tanto, la altura alcanzada cuando la velocidad es de \( 10 \, \mathrm{m/s} \) es aproximadamente \( 40.8 \, \mathrm{m} \). ### 2. Altura máxima alcanzada Para encontrar la altura máxima, utilizamos la misma ecuación, pero ahora consideramos que la velocidad final en la altura máxima es \( 0 \, \mathrm{m/s} \): \[ 0 = v_0^2 - 2g h_{max} \] Reorganizando para \( h_{max} \): \[ h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} \] Sustituyendo los valores: \[ h_{max} = \frac{(30 \, \mathrm{m/s})^2}{2 \cdot 9.81 \, \mathrm{m/s^2}} = \frac{900 \, \mathrm{m^2/s^2}}{19.62 \, \mathrm{m/s^2}} \approx 45.9 \, \mathrm{m} \] Por lo tanto, la altura máxima alcanzada es aproximadamente \( 45.9 \, \mathrm{m} \). ### Resumen - Altura cuando la velocidad es \( 10 \, \mathrm{m/s} \): \( \approx 40.8 \, \mathrm{m} \) - Altura máxima alcanzada: \( \approx 45.9 \, \mathrm{m} \)