Ramirez Davison
08/04/2023 · Primary School
\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + ( - 3 ) ^ { n } } { 2 ^ { n } - ( - 3 ) ^ { n } } = \)
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Para resolver el límite
\[
\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + ( - 3 ) ^ { n } } { 2 ^ { n } - ( - 3 ) ^ { n } },
\]
primero observamos el comportamiento de los términos \( (-3)^n \) y \( 2^n \) cuando \( n \) tiende a infinito.
1. Cuando \( n \) es par, \( (-3)^n \) es positivo y crece rápidamente.
2. Cuando \( n \) es impar, \( (-3)^n \) es negativo y también crece en magnitud, pero en dirección opuesta.
Sin embargo, en ambos casos, el término \( (-3)^n \) dominará el comportamiento del numerador y del denominador a medida que \( n \) se vuelve muy grande.
Para simplificar el límite, consideramos el caso cuando \( n \) es par:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 3^n}{2^n - 3^n}.
\]
Dividimos el numerador y el denominador por \( 3^n \):
\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3^n} + 1}{\frac{2^n}{3^n} - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3^n} + 1}{\left(\frac{2}{3}\right)^n - 1}.
\]
A medida que \( n \) tiende a infinito, \( \frac{1}{3^n} \) tiende a 0 y \( \left(\frac{2}{3}\right)^n \) también tiende a 0. Por lo tanto, el límite se convierte en:
\[
\frac{0 + 1}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1.
\]
Ahora consideramos el caso cuando \( n \) es impar:
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1 - 3^n}{2^n + 3^n}.
\]
De nuevo, dividimos por \( 3^n \):
\[
= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3^n} - 1}{\frac{2^n}{3^n} + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{0 - 1}{0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1.
\]
En ambos casos, el límite es el mismo. Por lo tanto, el resultado final es:
\[
\lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + ( - 3 ) ^ { n } } { 2 ^ { n } - ( - 3 ) ^ { n } } = -1.
\]
La respuesta es:
\[
\boxed{-1}.
\]
Quick Answer
El límite es -1.
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