Firma Probiotic möchte einen neuen probiotischen Joghurt thalb gibt sie eine Marktforschungsanalyse bei einem Institu alyse des Instituts zufolge, kann der jährliche Konsum an Jo ition \( f(x)=-x^{3}+13,5 x^{2}-36,5 x+15 \) beschrieben werden. a) Führen Sie für \( f(x) \) eine Funktionsuntersuchung durch.

Um eine Funktionsuntersuchung für die gegebene Funktion \( f(x) = -x^3 + 13,5x^2 - 36,5x + 15 \) durchzuführen, gehen wir durch die folgenden Schritte: 1. **Definitionsbereich**: Da es sich um ein Polynom handelt, ist der Definitionsbereich \( D = \mathbb{R} \). 2. **Nullstellen**: Wir setzen \( f(x) = 0 \) und lösen die Gleichung: \[ -x^3 + 13,5x^2 - 36,5x + 15 = 0 \] Um die Nullstellen zu finden, können wir numerische Methoden oder graphische Methoden verwenden, da die analytische Lösung für kubische Gleichungen kompliziert sein kann. Alternativ können wir auch den Rationalen Wurzelsatz verwenden, um mögliche rationale Nullstellen zu testen. 3. **Ableitungen**: Wir berechnen die erste und zweite Ableitung von \( f(x) \): \[ f'(x) = -3x^2 + 27x - 36 \] \[ f''(x) = -6x + 27 \] 4. **Extrempunkte**: Um die Extrempunkte zu finden, setzen wir die erste Ableitung gleich null: \[ -3x^2 + 27x - 36 = 0 \] Diese quadratische Gleichung können wir mit der Mitternachtsformel lösen: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-36)}}{2 \cdot (-3)} \] \[ = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 432}}{-6} = \frac{27 \pm \sqrt{297}}{-6} \] \[ = \frac{27 \pm 17.23}{-6} \] Dies ergibt zwei Werte für \( x \). 5. **Wendetest**: Um zu bestimmen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt, verwenden wir die zweite Ableitung: \[ f''(x) = -6x + 27 \] Setzen wir die Werte von \( x \) aus der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein, um die Art der Extrempunkte zu bestimmen. 6. **Wendepunkte**: Um die Wendepunkte zu finden, setzen wir die zweite Ableitung gleich null: \[ -6x + 27 = 0 \implies x = 4.5 \] 7. **Verhalten im Unendlichen**: Da der höchste Exponent negativ ist, geht die Funktion für \( x \to \infty \) gegen \( -\infty \) und für \( x \to -\infty \) gegen \( \infty \). 8. **Graph der Funktion**: Schließlich können wir die Funktion graphisch darstellen, um ein besseres Verständnis für das Verhalten der Funktion zu bekommen. Zusammenfassend haben wir die Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten der Funktion im Unendlichen untersucht. Um die genauen Werte der Nullstellen und Extrempunkte zu bestimmen, wäre eine numerische Berechnung oder graphische Darstellung hilfreich.