c. Proof that, if a function \( f(x) \) has a power series representation centered at \( x=a \) that converges to \( f(x) \) on some open interval containing \( a \), then this power series a Taylor series for \( f(x) \) at \( x=a \). [S]

要证明：如果函数 \( f(x) \) 在包含 \( a \) 的某个开区间上有幂级数展开，并且这个幂级数在该区间上收敛于 \( f(x) \)，那么这个幂级数是 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处的泰勒级数。 ### 解题步骤： #### 步骤 1：定义幂级数 假设函数 \( f(x) \) 在包含 \( a \) 的某个开区间 \( (a-r, a+r) \) 上有幂级数展开，并且这个幂级数在该区间上收敛于 \( f(x) \)。即： \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n \] 其中，系数 \( c_n \) 由以下公式给出： \[ c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \] #### 步骤 2：泰勒级数的定义 根据泰勒级数的定义，如果函数 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处可展开为幂级数，那么这个幂级数可以写成： \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \] #### 步骤 3：比较两个级数 现在，我们比较两个级数： \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n \] \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \] 可以看出，这两个级数的系数 \( c_n \) 和 \( \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \) 是相同的。因此，我们可以得出结论： \[ c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \] #### 步骤 4：结论 由于 \( c_n \) 和 \( \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \) 相等，所以幂级数： \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n \] 实际上就是 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处的泰勒级数。 因此，我们证明了如果函数 \( f(x) \) 在包含 \( a \) 的某个开区间上有幂级数展开，并且这个幂级数在该区间上收敛于 \( f(x) \)，那么这个幂级数是 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处的泰勒级数。