ercice 1() : Soit \( P \) la parabole d'équation \( f(x)=2 x^{2}+x+4 \) et \( P^{\prime} \) la parabole d'équation \( g(x)=-x^{2}-5 x+1 \) a) Conjecturer à la calculatrice, le nombre de points d'intersection de \( P \) et \( P^{\prime} \). b) Déterminer par le calcul, le nombre de points d'intersections de \( P \) et \( P^{\prime} \).

Pour déterminer le nombre de points d'intersection des deux paraboles \( P \) et \( P' \), nous devons résoudre l'équation \( f(x) = g(x) \). ### a) Conjecture à la calculatrice Les équations des paraboles sont données par : - \( f(x) = 2x^2 + x + 4 \) - \( g(x) = -x^2 - 5x + 1 \) Pour trouver les points d'intersection, nous devons résoudre l'équation suivante : \[ 2x^2 + x + 4 = -x^2 - 5x + 1 \] En réarrangeant cette équation, nous obtenons : \[ 2x^2 + x + 4 + x^2 + 5x - 1 = 0 \] \[ 3x^2 + 6x + 3 = 0 \] ### b) Détermination par le calcul Nous simplifions l'équation : \[ 3x^2 + 6x + 3 = 0 \] Divisons par 3 : \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] Cette équation peut être factorisée : \[ (x + 1)^2 = 0 \] Cela signifie que l'équation a une solution double : \[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] ### Conclusion Il y a donc un point d'intersection entre les deux paraboles, qui est un point double. Pour trouver le point d'intersection, nous pouvons substituer \( x = -1 \) dans l'une des équations, par exemple \( f(x) \) : \[ f(-1) = 2(-1)^2 + (-1) + 4 = 2(1) - 1 + 4 = 2 - 1 + 4 = 5 \] Ainsi, le point d'intersection est \( (-1, 5) \). En résumé : - **Nombre de points d'intersection** : 1 (un point double) - **Point d'intersection** : \( (-1, 5) \)