Tem ática 2 - Sumas de Riemann Aproxime la integral definida \( \int_{1}^{5} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} d x \) mediante la suma de \( \vdots: \quad \) Riemann por punto izquierdo, con \( n=6 \) Temática 3- Integral definida

Para aproximar la integral definida \( \int_{1}^{5} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} \, dx \) mediante la suma de Riemann por punto izquierdo con \( n=6 \), seguimos estos pasos: 1. **Determinar el ancho de cada subintervalo**: El intervalo de integración es de \( a = 1 \) a \( b = 5 \). El ancho de cada subintervalo \( \Delta x \) se calcula como: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] 2. **Determinar los puntos de evaluación**: Los puntos de evaluación para la suma de Riemann por la izquierda son los extremos izquierdos de cada subintervalo. Los puntos son: \[ x_0 = 1, \quad x_1 = 1 + \Delta x = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}, \quad x_2 = x_1 + \Delta x = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}, \] \[ x_3 = x_2 + \Delta x = \frac{7}{3} + \frac{2}{3} = 3, \quad x_4 = x_3 + \Delta x = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}, \quad x_5 = x_4 + \Delta x = \frac{11}{3} + \frac{2}{3} = \frac{13}{3} \] 3. **Calcular los valores de la función en los puntos de evaluación**: La función que estamos integrando es \( f(x) = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} = 5 x^{3/2} \). Evaluamos la función en los puntos \( x_0, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \): \[ f(x_0) = f(1) = 5(1)^{3/2} = 5 \] \[ f(x_1) = f\left(\frac{5}{3}\right) = 5\left(\frac{5}{3}\right)^{3/2} = 5 \cdot \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} \] \[ f(x_2) = f\left(\frac{7}{3}\right) = 5\left(\frac{7}{3}\right)^{3/2} = 5 \cdot \frac{7\sqrt{7}}{3\sqrt{3}} = \frac{35\sqrt{7}}{3\sqrt{3}} \] \[ f(x_3) = f(3) = 5(3)^{3/2} = 5 \cdot 3\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \] \[ f(x_4) = f\left(\frac{11}{3}\right) = 5\left(\frac{11}{3}\right)^{3/2} = 5 \cdot \frac{11\sqrt{11}}{3\sqrt{3}} = \frac{55\sqrt{11}}{3\sqrt{3}} \] \[ f(x_5) = f\left(\frac{13}{3}\right) = 5\left(\frac{13}{3}\right)^{3/2} = 5 \cdot \frac{13\sqrt{13}}{3\sqrt{3}} = \frac{65\sqrt{13}}{3\sqrt{3}} \] 4. **Calcular la suma de Riemann**: La suma de Riemann por la izquierda es: \[ S_L = \Delta x \left( f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) \right) \] Sustituyendo los valores: \[ S_L = \frac{2}{3} \left( 5 + \frac{25\sqrt{5}}{3\