Flynn Warren
03/16/2024 · High School

O polinômio \( p(x)=3 x^{3}-20 x^{2}+37 x-20 \) tem um divisor conhecido de \( (x-4) \). Reescreva \( p(x) \) como um produto de fatores lineares. \( p(x)=\square \)

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Para reescrever o polinômio \( p(x) = 3x^3 - 20x^2 + 37x - 20 \) como um produto de fatores lineares, sabendo que \( (x - 4) \) é um divisor, podemos usar a divisão polinomial para encontrar o quociente. Vamos realizar a divisão de \( p(x) \) por \( (x - 4) \): 1. Dividimos o primeiro termo do polinômio pelo primeiro termo do divisor: \[ \frac{3x^3}{x} = 3x^2 \] 2. Multiplicamos \( 3x^2 \) por \( (x - 4) \): \[ 3x^2(x - 4) = 3x^3 - 12x^2 \] 3. Subtraímos isso de \( p(x) \): \[ (3x^3 - 20x^2 + 37x - 20) - (3x^3 - 12x^2) = -20x^2 + 12x^2 + 37x - 20 = -8x^2 + 37x - 20 \] 4. Agora, repetimos o processo com o novo polinômio \( -8x^2 + 37x - 20 \): \[ \frac{-8x^2}{x} = -8x \] 5. Multiplicamos \( -8x \) por \( (x - 4) \): \[ -8x(x - 4) = -8x^2 + 32x \] 6. Subtraímos isso: \[ (-8x^2 + 37x - 20) - (-8x^2 + 32x) = 37x - 32x - 20 = 5x - 20 \] 7. Agora, repetimos o processo com \( 5x - 20 \): \[ \frac{5x}{x} = 5 \] 8. Multiplicamos \( 5 \) por \( (x - 4) \): \[ 5(x - 4) = 5x - 20 \] 9. Subtraímos isso: \[ (5x - 20) - (5x - 20) = 0 \] Portanto, a divisão foi exata e o quociente é \( 3x^2 - 8x + 5 \). Agora, precisamos fatorar \( 3x^2 - 8x + 5 \). Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão \( 3 \cdot 5 = 15 \) e somados dão \( -8 \). Esses números são \( -3 \) e \( -5 \). Assim, podemos reescrever o polinômio como: \[ 3x^2 - 3x - 5x + 5 = 3x(x - 1) - 5(x - 1) = (3x - 5)(x - 1) \] Portanto, o polinômio \( p(x) \) pode ser escrito como: \[ p(x) = (x - 4)(3x - 5)(x - 1) \] Assim, a resposta final é: \[ p(x) = (x - 4)(3x - 5)(x - 1) \]

Quick Answer

\( p(x) = (x - 4)(3x - 5)(x - 1) \)
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