Flynn Warren
03/16/2024 · High School
O polinômio \( p(x)=3 x^{3}-20 x^{2}+37 x-20 \) tem um divisor conhecido de \( (x-4) \). Reescreva \( p(x) \) como um produto de fatores lineares. \( p(x)=\square \)
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Para reescrever o polinômio \( p(x) = 3x^3 - 20x^2 + 37x - 20 \) como um produto de fatores lineares, sabendo que \( (x - 4) \) é um divisor, podemos usar a divisão polinomial para encontrar o quociente.
Vamos realizar a divisão de \( p(x) \) por \( (x - 4) \):
1. Dividimos o primeiro termo do polinômio pelo primeiro termo do divisor:
\[
\frac{3x^3}{x} = 3x^2
\]
2. Multiplicamos \( 3x^2 \) por \( (x - 4) \):
\[
3x^2(x - 4) = 3x^3 - 12x^2
\]
3. Subtraímos isso de \( p(x) \):
\[
(3x^3 - 20x^2 + 37x - 20) - (3x^3 - 12x^2) = -20x^2 + 12x^2 + 37x - 20 = -8x^2 + 37x - 20
\]
4. Agora, repetimos o processo com o novo polinômio \( -8x^2 + 37x - 20 \):
\[
\frac{-8x^2}{x} = -8x
\]
5. Multiplicamos \( -8x \) por \( (x - 4) \):
\[
-8x(x - 4) = -8x^2 + 32x
\]
6. Subtraímos isso:
\[
(-8x^2 + 37x - 20) - (-8x^2 + 32x) = 37x - 32x - 20 = 5x - 20
\]
7. Agora, repetimos o processo com \( 5x - 20 \):
\[
\frac{5x}{x} = 5
\]
8. Multiplicamos \( 5 \) por \( (x - 4) \):
\[
5(x - 4) = 5x - 20
\]
9. Subtraímos isso:
\[
(5x - 20) - (5x - 20) = 0
\]
Portanto, a divisão foi exata e o quociente é \( 3x^2 - 8x + 5 \).
Agora, precisamos fatorar \( 3x^2 - 8x + 5 \). Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão \( 3 \cdot 5 = 15 \) e somados dão \( -8 \). Esses números são \( -3 \) e \( -5 \).
Assim, podemos reescrever o polinômio como:
\[
3x^2 - 3x - 5x + 5 = 3x(x - 1) - 5(x - 1) = (3x - 5)(x - 1)
\]
Portanto, o polinômio \( p(x) \) pode ser escrito como:
\[
p(x) = (x - 4)(3x - 5)(x - 1)
\]
Assim, a resposta final é:
\[
p(x) = (x - 4)(3x - 5)(x - 1)
\]
Quick Answer
\( p(x) = (x - 4)(3x - 5)(x - 1) \)
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