Soit ABC un triangle, I , J et K les milieux respectifs de côtes \( [\mathrm{BC}],[\mathrm{AC}] \) Montrer que \( \overrightarrow{\mathrm{AK}}+\overrightarrow{\mathrm{BI}}+\overrightarrow{\mathrm{CJ}}=\delta \) Iontrer que \( \overrightarrow{\mathrm{AI}}+\overrightarrow{\mathrm{BJ}}+\overrightarrow{\mathrm{CK}}=\bar{\delta} \)

Pour démontrer les relations vectorielles données dans le triangle \( ABC \), nous allons utiliser les propriétés des milieux des côtés et les vecteurs associés. 1. **Démonstration de \( \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{CJ} = \delta \)** Soit \( A \), \( B \), et \( C \) les points du triangle avec les vecteurs position respectifs \( \overrightarrow{A} \), \( \overrightarrow{B} \), et \( \overrightarrow{C} \). Les milieux des côtés sont définis comme suit : - \( K \) est le milieu de \( [AC] \), donc : \[ \overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} \] - \( I \) est le milieu de \( [BC] \), donc : \[ \overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \] - \( J \) est le milieu de \( [AB] \), donc : \[ \overrightarrow{J} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} \] Maintenant, calculons les vecteurs \( \overrightarrow{AK} \), \( \overrightarrow{BI} \), et \( \overrightarrow{CJ} \) : - \( \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{A} = \frac{-\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} \) - \( \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{B} = \frac{-\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \) - \( \overrightarrow{CJ} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{C} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} - \overrightarrow{C} = \frac{\overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} + \overrightarrow{B}}{2} \) En additionnant ces vecteurs : \[ \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{CJ} = \frac{-\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} + \frac{-\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} + \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{2} \] En simplifiant : \[ = \frac{-\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{C} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{C}}{2} \] Ce qui montre que : \[ \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{CJ} = \delta \] 2. **Démonstration de \( \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{CK} = \bar{\delta} \)** Calculons maintenant les vecteurs \( \overrightarrow{AI} \), \( \overrightarrow{BJ} \), et \( \overrightarrow{CK} \) : - \( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{A} = \frac{-2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \) - \( \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} - \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \) - \( \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{K}