No. 3 Una planta industrial fabrica bombillas de luz cuya duración tiene una distribución normal con una media de 780 horas y una desviación estindar de 50 horas. a) Calcule la probabilidad de que al seleccionar una muestra aleatoria de 25 bombillas tengan una duración promedio mayor a 800 horas. ¿Qué puede concluir? b) Si un grupo de compradores afirma que puede probar de manera estadistica que menos de 20\% de las bom- billas duran en promedio menos de 770 horas, ¿cual es el tamaño minimo de la muestra que deben elegir los compradores para que puedan corroborar su afirmación?

Para resolver el problema planteado, utilizaremos la distribución normal y el teorema del límite central. ### a) Calcule la probabilidad de que al seleccionar una muestra aleatoria de 25 bombillas tengan una duración promedio mayor a 800 horas. 1. **Datos iniciales:** - Media (\(\mu\)) = 780 horas - Desviación estándar (\(\sigma\)) = 50 horas - Tamaño de la muestra (\(n\)) = 25 2. **Calcular la desviación estándar de la media muestral (\(\sigma_{\bar{x}}\)):** \[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{50}{\sqrt{25}} = \frac{50}{5} = 10 \text{ horas} \] 3. **Calcular el valor Z para una duración promedio de 800 horas:** \[ Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{800 - 780}{10} = \frac{20}{10} = 2 \] 4. **Buscar la probabilidad correspondiente al valor Z = 2 en la tabla de la distribución normal estándar:** - La probabilidad de que Z sea menor que 2 es aproximadamente 0.9772. - Por lo tanto, la probabilidad de que Z sea mayor que 2 es: \[ P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 \] 5. **Conclusión:** La probabilidad de que el promedio de duración de las 25 bombillas seleccionadas sea mayor a 800 horas es aproximadamente 0.0228, o 2.28%. Esto indica que es poco probable que el promedio de duración de las bombillas seleccionadas sea mayor a 800 horas, lo que sugiere que la afirmación de que las bombillas tienen una duración promedio mayor a 800 horas no es consistente con la media poblacional. ### b) Tamaño mínimo de la muestra para corroborar que menos del 20% de las bombillas duran en promedio menos de 770 horas. 1. **Definir la hipótesis:** - Hipótesis nula (\(H_0\)): \(p \geq 0.20\) (al menos el 20% de las bombillas duran menos de 770 horas) - Hipótesis alternativa (\(H_a\)): \(p < 0.20\) (menos del 20% de las bombillas duran menos de 770 horas) 2. **Calcular el valor Z correspondiente a un nivel de significancia (usualmente \(\alpha = 0.05\)):** - Para un nivel de significancia de 0.05 en una prueba de una cola, el valor Z crítico es aproximadamente -1.645. 3. **Calcular el valor de p para 770 horas:** \[ Z = \frac{770 - 780}{50/\sqrt{n}} = \frac{-10}{50/\sqrt{n}} = \frac{-10\sqrt{n}}{50} = \frac{-\sqrt{n}}{5} \] Igualamos a -1.645: \[ \frac{-\sqrt{n}}{5} = -1.645 \implies \sqrt{n} = 1.645 \times 5 \implies \sqrt{n} = 8.225 \implies n = (8.225)^2 \approx 67.6 \] 4. **Tamaño mínimo de la muestra:** Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos hacia arriba: \[ n \geq 68 \] ### Conclusión: Los compradores deben seleccionar un tamaño mínimo de muestra de 68 bombillas para poder corroborar estadísticamente su afirmación de que menos del 20% de las bombillas duran en promedio menos de 770 horas.