\( \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+2 \overrightarrow{M C}=J \). Montrer que \( M \) est le milieu de [1 Soit \( A B C \) un triangle, \( I \), J et \( K \) les milieux respectifs a) Montrer que \( \overrightarrow{A K}+\overrightarrow{B I}+\overrightarrow{C J}=\overrightarrow{0} \). b) Montrer que \( \overrightarrow{A I}+\overrightarrow{B J}+\overrightarrow{C K}=\overrightarrow{0} \)

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les propriétés des vecteurs et des milieux dans un triangle. ### a) Montrer que \( \overrightarrow{A K} + \overrightarrow{B I} + \overrightarrow{C J} = \overrightarrow{0} \) Soit \( A, B, C \) les sommets d'un triangle et \( I, J, K \) les milieux respectifs des segments \( BC, CA, AB \). Nous savons que : - \( I \) est le milieu de \( BC \), donc : \[ \overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} \] - \( J \) est le milieu de \( CA \), donc : \[ \overrightarrow{J} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{A}}{2} \] - \( K \) est le milieu de \( AB \), donc : \[ \overrightarrow{K} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} \] Nous allons maintenant exprimer \( \overrightarrow{A K}, \overrightarrow{B I}, \overrightarrow{C J} \) en fonction des vecteurs des sommets. 1. **Calcul de \( \overrightarrow{A K} \)** : \[ \overrightarrow{A K} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = \left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\right) - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - 2\overrightarrow{A}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}}{2} \] 2. **Calcul de \( \overrightarrow{B I} \)** : \[ \overrightarrow{B I} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{B} = \left(\frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}\right) - \overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{B}}{2} = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}}{2} \] 3. **Calcul de \( \overrightarrow{C J} \)** : \[ \overrightarrow{C J} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{C} = \left(\frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{A}}{2}\right) - \overrightarrow{C} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}}{2} \] Maintenant, nous additionnons ces trois vecteurs : \[ \overrightarrow{A K} + \overrightarrow{B I} + \overrightarrow{C J} = \frac{\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}}{2} + \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}}{2} + \frac{\overrightarrow{A} - \overrightarrow{C}}{2} \] En simplifiant, nous avons : \[ = \frac{(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{C})}{2} = \frac{0}{2} = \overrightarrow{0} \] ### b) Montrer que \( \overrightarrow{A I} + \overrightarrow{B J} + \overrightarrow{C K} = \overrightarrow{0} \) Nous allons maintenant calculer \( \overrightarrow{A I}, \overrightarrow{B J}, \overrightarrow{C K} \). 1. **Calcul de \( \overrightarrow{A I} \)** : \[ \overrightarrow{A I} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{A} = \left(\frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}\right) - \overrightarrow{A} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{A}}{2} \] 2. **Calcul de \( \overrightarrow{B J} \