El área bajo la curva de la función \( f(x)=1-\sqrt{x} \) en el intervalo \( [1,4] \) Corresponde a: Seleccione una: \( \frac{5}{6} \) \( \frac{-5}{3} \) \( \frac{-5}{6} \) \( \frac{5}{3} \)

Para encontrar el área bajo la curva de la función \( f(x) = 1 - \sqrt{x} \) en el intervalo \( [1, 4] \), debemos calcular la integral definida de la función en ese intervalo. La integral que necesitamos calcular es: \[ \int_{1}^{4} (1 - \sqrt{x}) \, dx \] Primero, calculamos la integral de cada término por separado: 1. La integral de \( 1 \) es \( x \). 2. La integral de \( \sqrt{x} \) es \( \frac{2}{3} x^{3/2} \). Por lo tanto, la integral se puede escribir como: \[ \int (1 - \sqrt{x}) \, dx = x - \frac{2}{3} x^{3/2} + C \] Ahora evaluamos la integral definida en el intervalo \( [1, 4] \): \[ \int_{1}^{4} (1 - \sqrt{x}) \, dx = \left[ x - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4} \] Calculamos primero en \( x = 4 \): \[ 4 - \frac{2}{3} (4)^{3/2} = 4 - \frac{2}{3} (8) = 4 - \frac{16}{3} = 4 - 5.33 = -\frac{1}{3} \] Ahora calculamos en \( x = 1 \): \[ 1 - \frac{2}{3} (1)^{3/2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] Ahora restamos los resultados: \[ \int_{1}^{4} (1 - \sqrt{x}) \, dx = \left( -\frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \] Sin embargo, parece que he cometido un error en la evaluación. Vamos a corregirlo: \[ \int_{1}^{4} (1 - \sqrt{x}) \, dx = \left[ x - \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4} \] Evaluamos en \( x = 4 \): \[ 4 - \frac{2}{3} (4)^{3/2} = 4 - \frac{2}{3} (8) = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{4}{3} \] Evaluamos en \( x = 1 \): \[ 1 - \frac{2}{3} (1)^{3/2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] Ahora restamos: \[ \int_{1}^{4} (1 - \sqrt{x}) \, dx = \left( -\frac{4}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) = -\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} \] Por lo tanto, el área bajo la curva de la función \( f(x) = 1 - \sqrt{x} \) en el intervalo \( [1, 4] \) es: \[ \boxed{\frac{-5}{3}} \]