Determinar los valores de \( k \in R \) de tal manera que el sistema de ecuaciones lineales sea un Sistema incompatible. \[ \begin{array}{cc}x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ x_{2}+4 x_{3}=-7 \\ k x_{1}+7 x_{2}+6 x_{3}=-5 \\ x_{2}+k x_{3}=-3\end{array} \]

Para determinar los valores de \( k \in R \) para los cuales el sistema de ecuaciones lineales sea incompatible, necesitamos encontrar un valor de \( k \) que haga que el sistema tenga una solución única o infinitas soluciones. El sistema de ecuaciones lineales dado es: \[ \begin{array}{cc}x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ x_{2}+4 x_{3}=-7 \\ k x_{1}+7 x_{2}+6 x_{3}=-5 \\ x_{2}+k x_{3}=-3\end{array} \] Para que el sistema sea incompatible, necesitamos que el sistema tenga una solución única o infinitas soluciones. Esto ocurre cuando el sistema tiene una contradicción, es decir, cuando una ecuación se contradice con otra. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones lineales para encontrar los valores de \( k \) que hacen que el sistema sea incompatible. Primero, resolvamos el sistema de ecuaciones lineales para encontrar los valores de \( x_{1} \), \( x_{2} \) y \( x_{3} \) en términos de \( k \). Después de resolver el sistema, verificaremos si hay valores de \( k \) que hagan que el sistema sea incompatible. Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=-1\\x_{2}+4x_{3}=-7\\kx_{1}+7x_{2}+6x_{3}=-5\\x_{2}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step1: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x_{1}=-1-3x_{2}-2x_{3}\\x_{2}+4x_{3}=-7\\kx_{1}+7x_{2}+6x_{3}=-5\\x_{2}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step2: Substitute the value of \(x_{1}:\) \(\left\{ \begin{array}{l}x_{2}+4x_{3}=-7\\k\left(-1-3x_{2}-2x_{3}\right)+7x_{2}+6x_{3}=-5\\x_{2}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step3: Simplify: \(\left\{ \begin{array}{l}x_{2}+4x_{3}=-7\\-k-3kx_{2}-2kx_{3}+7x_{2}+6x_{3}=-5\\x_{2}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step4: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}x_{2}=-7-4x_{3}\\-k-3kx_{2}-2kx_{3}+7x_{2}+6x_{3}=-5\\x_{2}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step5: Substitute the value of \(x_{2}:\) \(\left\{ \begin{array}{l}-k-3k\left(-7-4x_{3}\right)-2kx_{3}+7\left(-7-4x_{3}\right)+6x_{3}=-5\\-7-4x_{3}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step6: Simplify: \(\left\{ \begin{array}{l}20k+10kx_{3}-49-22x_{3}=-5\\-7-4x_{3}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step7: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}k=\frac{11}{5}\cup x_{3}=-2\\-7-4x_{3}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step8: Evaluate: \(\left\{ \begin{array}{l}k=\frac{11}{5}\\-7-4x_{3}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}x_{3}=-2\\-7-4x_{3}+kx_{3}=-3\end{array}\right.\) - step9: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}k=\frac{11}{5}\\x_{3}=-\frac{20}{9}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}k=2\\x_{3}=-2\end{array}\right.\) - step10: Rearrange the terms: \(\left\{ \begin{array}{l}k=2\\x_{3}=-2\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}k=\frac{11}{5}\\x_{3}=-\frac{20}{9}\end{array}\right.\) - step11: Rearrange the terms: \(\left\{ \begin{array}{l}k=\frac{11}{5}\\x_{1}=-1-3x_{2}-2x_{3}\\x_{2}=-7-4x_{3}\\x_{3}=-\frac{20}{9}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}k=2\\x_{1}=-1-3x_{2}-2x_{3}\\x_{2}=-7-4x_{3}\\x_{3}=-2\end{array}\right.\) - step12: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}k=\frac{11}{5}\\x_{1}=-\frac{20}{9}\\x_{2}=\frac{17}{9}\\x_{3}=-\frac{20}{9}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}k=2\\x_{1}=0\\x_{2}=1\\x_{3}=-2\end{array}\right.\) - step13: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}k=2\\x_{1}=0\\x_{2}=1\\x_{3}=-2\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}k=\frac{11}{5}\\x_{1}=-\frac{20}{9}\\x_{2}=\frac{17}{9}\\x_{3}=-\frac{20}{9}\end{array}\right.\) - step14: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}k=2\\x_{1}=0\\x_{2}=1\\x_{3}=-2\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}k=\frac{11}{5}\\x_{1}=-\frac{20}{9}\\x_{2}=\frac{17}{9}\\x_{3}=-\frac{20}{9}\end{array}\right.\) - step15: Rewrite: \(\left(k,x_{1},x_{2},x_{3}\right) = \left(2,0,1,-2\right)\cup \left(k,x_{1},x_{2},x_{3}\right) = \left(\frac{11}{5},-\frac{20}{9},\frac{17}{9},-\frac{20}{9}\right)\) El sistema de ecuaciones lineales tiene dos soluciones: 1. \( k = 2 \), \( x_{1} = 0 \), \( x_{2} = 1 \), \( x_{3} = -2 \) 2. \( k = \frac{11}{5} \), \( x_{1} = -\frac{20}{9} \), \( x_{2} = \frac{17}{9} \), \( x_{3} = -\frac{20}{9} \) Para que el sistema sea incompatible, necesitamos encontrar un valor de \( k \) que haga que el sistema tenga una contradicción. En este caso, el sistema es compatible para los valores de \( k \) encontrados. Por lo tanto, no hay valores de \( k \) que hagan que el sistema sea incompatible.